余弦定理练习-含答案

课时作业2余弦定理时间：45分钟满分：100分课堂训练1．在△ABC中，已知a＝5，b＝4，∠C＝120°.则c为()A.41B.61C.41或61D.21【答案】B【解析】c＝a2＋b2－2abcosC＝52＋42－2×5×4×－12＝61.2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝()A.14B.34C.24D.23【答案】B【解析】由b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－a×2a2a·2a＝34.3．在△ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a＝3、b＝4、c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC＝________.【答案】612【解析】bccosA＋cacosB＋abcosC＝bc·b2＋c2－a22bc＋ca·c2＋a2－b22ac＋ab·a2＋b2－c22ab＝12(b2＋c2－a2)＋12(c2＋a2－b2)＋12(a2＋b2－c2)＝12(a2＋b2＋c2)＝612.4．在△ABC中：(1)a＝1，b＝1，∠C＝120°，求c；(2)a＝3，b＝4，c＝37，求最大角；(3)a:b:c＝1:3:2，求∠A、∠B、∠C.【分析】(1)直接利用余弦定理即可；(2)在三角形中，大边对大角；(3)可设三边为x，3x,2x.【解析】(1)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋12－2×1×1×(－12)＝3，∴c＝3.(2)显然∠C最大，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝32＋42－372×3×4＝－12.∴∠C＝120°.(3)由于a:b:c＝1:3:2，可设a＝x，b＝3x，c＝2x(x0)．由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝3x2＋4x2－x22·3x·2x＝32，∴∠A＝30°.同理cosB＝12，cosC＝0.∴∠B＝60°，∠C＝90°.【规律方法】1．本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特征．2．对于第(3)小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出∠A，进而求出其余两角，另外也可考虑用正弦定理求∠B，但要注意讨论解的情况．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．△ABC中，下列结论：①a2b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②a2＝b2＋c2＋bc，则∠A为60°；③a2＋b2c2，则△ABC为锐角三角形；④若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则a:b:c＝1:2:3，其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】①cosA＝b2＋c2－a22bc0，∴∠A为钝角，正确；②cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴∠A＝120°，错误；③cosC＝a2＋b2－c22ab0，∴∠C为锐角，但∠A或∠B不一定为锐角，错误；④∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，a:b:c＝1:3:2，错误．故选A.2．△ABC的三内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则∠C的大小为()A.π6B.π3C.π2D.23π【答案】B【解析】∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12.∴∠C＝π3.3．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A＝π3，a＝7，b＝1，则c等于()A．22B．3C.3＋1D．23【答案】B【解析】由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，所以(7)2＝1＋c2－2×1×c×cosπ3，即c2－c－6＝0，解得c＝3或c＝－2(舍)．故选B.4．在不等边三角形ABC中，a为最大边，且a2b2＋c2，则∠A的取值范围是()A．(π2，π)B．(π4，π2)C．(π3，π2)D．(0，π2)【答案】C【解析】因为a为最大边，所以∠A为最大角，即∠A∠B，∠A∠C，故2∠A∠B＋∠C.又因为∠B＋∠C＝π－∠A，所以2∠Aπ－∠A，即∠Aπ3.因为a2b2＋c2，所以cosA＝b2＋c2－a22bc0，所以0∠Aπ2.综上，π3∠Aπ2.5．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，∠C＝120°，则sinA的值为()A.5719B.217C.338D．－5719【答案】A【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab·cosC＝42＋62－2×4×6(－12)＝76，∴c＝76.由正弦定理得asinA＝csinC，即4sinA＝76sin120°，∴sinA＝4sin120°76＝5719.6．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面积为32，那么b等于()A.1＋32B．1＋3C.2＋32D．2＋3【答案】B【解析】∵2b＝a＋c，又由于∠B＝30°，∴S△ABC＝12acsinB＝12acsin30°＝32，解得ac＝6，由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos30°＝4b2－12－63，即b2＝4＋23，由b0解得b＝1＋3.7．在△ABC中，若acosA＋bcosB＝ccosC，则这个三角形一定是()A．锐角三角形或钝角三角形B．以a或b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．等边三角形【答案】B【解析】由余弦定理acosA＋bcosB＝ccosC可变为a·b2＋c2－a22bc＋b·a2＋c2－b22ac＝c·a2＋b2－c22ab，a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2)a2b2＋a2c2－a4＋b2a2＋b2c2－b4＝c2a2＋c2b2－c42a2b2－a4－b4＋c4＝0，(c2－a2＋b2)(c2＋a2－b2)＝0，∴c2＋b2＝a2或a2＋c2＝b2，∴以a或b为斜边的直角三角形．8．若△ABC的周长等于20，面积是103，∠A＝60°，则BC边的长是()A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】依题意及面积公式S＝12bcsinA，得103＝12bc×sin60°，即bc＝40.又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC中，三边长AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________．【答案】－19【解析】由余弦定理可求得cosB＝1935，∴AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|·cos(π－B)＝－|AB→|·|BC→|·cosB＝－19.10．已知等腰三角形的底边长为a，腰长为2a，则腰上的中线长为________．【答案】62a【解析】如图，AB＝AC＝2a，BC＝a，BD为腰AC的中线，过A作AE⊥BC于E，在△AEC中，cosC＝ECAC＝14，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cosC，即BD2＝a2＋a2－2×a×a×14＝32a2，∴BD＝62a.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在△ABC中，已知b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断三角形的形状．【分析】解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题转化成角或边的关系求解．【解析】方法一：由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R，R为△ABC外接圆的半径，将原式化为8R2sin2Bsin2C＝8R2sinBsinCcosBcosC.∵sinBsinC≠0，sinBsinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0，∴∠B＋∠C＝90°，∠A＝90°，故△ABC为直角三角形．方法二：将已知等式变为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC.由余弦定理可得：b2＋c2－b2·(a2＋b2－c22ab)2－c2(a2＋c2－b22ac)2＝2bc·a2＋b2－c22ab·a2＋c2－b22ac.即b2＋c2＝[a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]24a2也即b2＋c2＝a2，故△ABC为直角三角形．【规律方法】在利用正弦定理实施边角转化时，等式两边a，b，c及角的正弦值的次数必须相同，否则不能相互转化．12．(2013·全国新课标Ⅰ，理)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.【解析】(1)由已知得，∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°，在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74，∴PA＝72.(2)设∠PBA＝α，由已知得，PB＝sinα，在△PBA中，由正弦定理得3sin150°＝sinαsin30°－α，化简得，3cosα＝4sinα，∴tanα＝34，∴tan∠PBA＝34.