结构力学-静定结构位移计算

§4-1结构位移计算概述一、杆系结构的位移AVAHAA'A（1）绝对线位移和绝对角位移（简称线位移和角位移）（2）相对线位移和相对角位移ABCDA'B'CDABABABCDCDCDa）验算结构的刚度；b）为超静定结构的内力分析打基础；c）建筑起拱。MQN↓↓↓↓↓↓↓↓↓t+t不产生内力，产生变形产生位移b）温度改变和材料胀缩；c）支座沉降和制造误差。不产生内力和变形产生刚体移动位移是几何量，理论上可用几何法来求，如但因几何关系的复杂性，一般用虚功法。其理论基础是虚功原理。a）荷载作用；计算位移时，常假定：1）E；2）小变形；3）具有理想约束的体系。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。二、计算位移有三个目的三、产生位移的主要原因22ddxwl§4-2虚功原理一、实功与虚功实功是力在自身引起的位移上所作的功。如W11，W22。实功恒为正。虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如W12，如力与位移同向，虚功为正，如力与位移反向，虚功为负P1P2112212荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到11，对线弹性体系P与成正比。P11P1元功dW=PdW11dWSOABP111/2再加P2，P2在自身引起的位移22上作的功W22P2222在12过程中，P1的值不变，W12=P11212与P1无关dTOABKj位移发生的位置产生位移的原因二、广义力与广义位移作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力S；与位移有关的因素，称为广义位移。广义力与广义位移的关系有其虚功定义WS1）广义力是单个集中力P，则广义位移是该力的作用点沿力的作用线方向上的线位移。PΔmβ2）广义力是一个集中力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角位移。3）若广义力是等值、反向的一对力PPPttABBAWPAPBP(AB)P这里是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶mABmmABWmAmBm(AB)m这里是与广义力相应的广义位移。表示AB两截面的相对转角。P1P2三、静力可能力状态与位移可能位移状态N1、Q1、M1YA1YB1XB1体系上作用一组力系（含外力、内力），称为力状态，如果该力系满足静力平衡条件。称该状态为静力可能的力状态。N2、Q2、M2YA2YB2XB2同一体系上可有无数个静力可能的力状态。1、1、12、2、212体系上产生一组位移（含结构位移和变形位移），称为位移状态，如果该位移状态满足变形协调条件和位移边界条件。称之为位移可能的位移状态。同一体系上可有无数个可能位移状态。两组可能位移的差（微小）称为虚位移。虚位移也可定义为协调、任意、微小的位移。1、静力可能的力状态2、位移可能的位移状态四、虚功原理若同一体系上的两状态是彼此无关的静力可能状态和位移可能状态，则力状态的外力在位移状态相应结构位移上所做的虚功（外力虚功）等于力状态的内力在位移状态相应变形位移上所做的虚功（内力虚功）；反之亦然。外力静力可能力状态位移可能位移状态理解2①力状态是静力可能的；内力结构位移变形位移②位移状态是位移可能的；③外力虚功等于内力虚功。三个条件：理解1满足任意两个条件必满足第三个条件。虚功方程虚位移原理等价于平衡条件，abACBPXδP1可用于刚体系平衡问题的求解。对于理想约束，约束反力不做功；刚体无变形，内力不做功。虚功方程退化为：主动力体系位移0例：求杠杆在图示位置平衡时X的值。PXXX()PP0由PXba代入0bXPabXPa习惯上，设1X则PPba0PXPPbXPPa虚位移原理实际上将平衡问题归结为几何问题求解若某力状态在可能位移状态相应结构位移上所做的外力虚功等于内力虚功，则该力状态必是静力可能的力状态。五、虚功原理的应用1、虚位移原理2、虚力原理若静力可能力状态在某位移状态上所做的外力虚功等于内力虚功，则该位移状态必是位移可能的位移状态。虚力原理等价于协调条件，可用于体系几何问题的求解。例：刚体系，A支座发生位移c，求B端位移。bacΔP=1baPRA建立虚功方程：PΔ+RAc=00aaPPccbb（↑）AB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓N2N2+dNQ2Q2+dQM2M2+dMdsdu1§4-3结构在荷载作用下的位移计算AA'qPmAⅠ实际状态——位移状态2PⅡ虚设状态——静力可能力状态位移状态的结构位移：一、位移计算公式位移状态的变形位移：ds1du1ds1dNsEAdsdv11dv1ds1dkQsGA1ds1d1ds1dMsEId1静力可能力状态的外力：2P静力可能力状态的内力：dsdsN2dN、Q2dQ、M2dM由虚功方程：2P212121dddNuQMvs()121212dddsssNNkQQMMsssEAGAEA忽略内力增量的影响对于线弹性体此式也适用非弹性体因静力可能力状态是任意的，为计算方便，此时可设21PP222NNQQMM、、；位移状态中相应内力以P为下标。虚功方程改写为PPPdddsssNNkQQMMsssEAGAEI1此即线弹性结构在力荷载作用下的位移计算公式。（单位荷载法）（1）EA、GA和EI分别是杆件截面的拉压、剪切和弯曲刚度；k是截面形状系数k矩=1.2，k圆=10/9。注：（2）是实际荷载引起的内力；PPPNQM、、（3）是虚拟力状态引起的内力。NQM、、二、各类结构位移计算公式的简化公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位移的影响。不同结构类型有不同的受力特点，公式右边各项对所求位移的影响也不尽相同。故可简化之。（3）拱：通常只考虑弯曲变形的影响。（1）梁和刚架：位移主要由弯矩引起，轴力影响较小。（2）桁架：位移仅由轴力引起。PdsMMsEI一般情况下（浅梁），剪切对位移的影响很小，通常忽略不计。PdsNNsEAPNNlEAPdsMMsEI但在扁平拱（l/f5）中计算水平位移时需考虑轴向变形对位移的影响：PPddssNNMMssEAEI在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应的广义单位荷载lAB求A点的水平位移求A截面的转角求AB两截面的相对转角求AB两点的相对位移求AB两点连线的转角位移方向未知时无法直接虚拟力状态！但所虚设的力状态必须具有在虚功方程中能激活所求位移的性质。公式的应用的关键是：视实际状态为位移状态，虚设静力可能的力状态。三、虚拟力状态的建立1P1P1P1P1P1P1Pl1Pl1m四、应用举例解：例1：求图示桁架(各杆EA相同)B点水平位移。00PP2P11122PVBNNlEA1P（1）设力状态如图所示（2）计算位移状态的内力如图所示（3）计算力状态的内力如图所示0（4）代入公式计算位移1[0(1)aEA()(1)Pa()(1)Pa222Pa022]a2(12)PaEA()APaaBCD注：当一个状态下出现零杆，则另一状态下对应的内力可不必计算例2：求曲梁B点的竖向位移（EI、EA、GA已知）解：PsinsinMPRMRPPPVdBNNkQQMMsEAGAEI)(4443EIPRGAkPREAPR1PROBAP（1）虚设的力状态如图所示（2）计算位移状态和力状态的内力K（两状态的内力需在同一坐标系下计算）KPcoscosQPQPsinsinNPNdsRd（3）代入公式计算位移3,/12,6/5,/1/10,/2.5()AbhIbhkhREG钢砼3,,444MQNPRkPRPREIGAEA设:11200NM1400QM小曲率杆可利用直杆公式近似计算;轴向变形,剪切变形对位移的影响可略去不计例3：求图示等长l、等截面刚架C端的竖向位移和转角。ABC↓↓↓↓↓↓↓↓q解：分别虚设力状态如图所示1P1P求CV的力状态1求C的力状态2分别列出各状态下的弯矩方程位移状态x1x1x12P11()2Mxqx111()Mxx21()1Mxx2x2x22P21()2Mxql12()Mxl22()1Mx4VP1111P21220015()()d()()d8llCqlMxMxxMxMxxEIEI3P1211P22220012()()d()()d3llCqlMxMxxMxMxxEIEI()()积分常可用图形相乘来代替yxdxxxCP§4-4图乘法刚架与梁的位移计算公式为：建筑结构中最常见的是刚架与梁dPMMsEI图乘法可简化公式的积分计算一、图乘法的原理及其应用条件dPMMsEIyP1dMMsEI等截面直杆P1dMMxEIOMPMMPM1tanxEIdPP1tandxEICP1tanxEIPdP1yEI竖标，再除以杆的弯曲刚度EI。y公式积分等于MP图的面积P乘以与其形心所对应的图的M所以PyEI设图线为直线M类似地，若设MP图线为直线，则PyEIC①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。②图乘法的应用条件：a）EI常数；b）直杆；c）两个弯矩图至少有一个是直线。③竖标y必须在直线形弯矩图中取值，面积则在另一弯矩图中取值。④若两个弯矩图都是直线，任选一个取面积，另一个取竖标。⑤面积与竖标y在杆的同侧，y取正号，异侧取负号。⑥基本图形的面积与形心位置：除矩形外，常见的是三角形和二次标准抛物线。应用条件及说明：(a+l)/3(b+l)/3hl/2labhl/2l/2h二次抛物线2hl/3顶点1/2Pl/4MP图例：求图示梁B端的转角。Pl/2l/2EIAB1、设原结构为位移状态：解：2、虚设力状态如图所示：作相应的MP图，如图所示。作相应的图，如图所示。M3、用图乘法求位移：PBMMP1yEI1111242lPlEI216PlEI（）1P1图MPy当图乘法的适用条件不满足时，可做适当处理！二、图乘法的处理技巧可按叠加法作弯矩图的反向思路，当图为非基本图形时，PM将MP图分解为若干基本图形，1P2P然后分别图乘叠加。1、图形分解例：求图示梁A端的竖向位移。lEIABq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓1P解：虚设力状态并作弯矩图；l作原状态并弯矩图；图Mql2/2ql2/8图PM将MP图分解；ql2/2ql2/8+1y2yVPAMM1P12P21yyEI21112223lqllEI2211382lqll48qlEI（）图的面积和形心不易确定，PM常见的图形分解如下：ablababablabhhablablhabh有抛物线先连线抛物线两端；然后从基线开始分解；每一次分解后的直线又视为新的基线。应分段图乘再叠加。2、当图线为分段直线或为阶梯截面时，M例：求图示梁跨中C截面竖向位移。Pl/2l/2EIABPl/4MP图l/4M图1PVPCMMCP1yEI1111244lPllEI332PlEI（）?一块面积只能对应一条直线！1P2P1y2yV1P12P21CyyEI111121222434lPllEI348PlEI（）曲杆或EI连续变化的直