第二章-6-非线性系统线性化

自动控制理论浙江大学控制科学与工程学系周立芳周立芳徐正国徐正国第二章第二章系统方程列写系统方程列写————建模建模2第二章要点9引言9电路及组成9线性代数与状态的基本概念9传递函数及方块图9机械传递系统9相似电路9其他的数学建模实例9机械旋转系统9热力系统9液位系统9……9系统传递函数的计算9非线性系统的线性化3线性化：为什么？如何？),(uxfx=¾通常利用一般的非线性微分方程描述非线性系统)()(2trtc=)()(thftQα=2)RatioofReagenttoInfluentFlow（反应物）1413121110987654321000.20.40.60.81.01.21.41.61.82.01)高度非线性(TitrationCurve)滴定曲线¾大多数物理系统本质上都是非线性系统，如线性化4非线性系统例1：交流伺服电机¾根据交流伺服电机的平衡方程，有),(ω=cefT(1)对于非线性系统（见图2.28(b)），转矩-速度平衡方程为0=ω−BT(2)输入ec输出ω图2.28(a)Stator(定子)Stator(定子)dtdbdtdJTθθ+=22(1‘)考虑线性关系线性化¾交流伺服电机如图2.28所示。由图(b)可以看出，转矩-速度曲线不是直线。因此无法利用线性微分方程来确切地描述电机特性。参考磁场5非线性系统例1：交流伺服电机对于非线性系统（见图2.28(b)），转矩-速度平衡方程为0=ω−BT(2)线性化伺服电机特性转矩速度输入ec输出ω图2.28(a)Stator(定子)Stator(定子)参考磁场6从方程(3)中消去稳态项，于是可以得到交流伺服电机的动态模型000=ω−BT∵¾当出现小变动时，系统平衡方程将变成)()()(000ωΔ+ω−Δ+=ωΔ+ωBTTdtdJ其中，J是转动惯量(3)0),(TBefBTdtdJc−ωΔ−ω=ωΔ−Δ=ωΔ线性化),(ω=cefT(1)非线性系统例1：交流伺服电机输入ec输出ω图2.28(a)定子定子注意方程(1)从方程(1)可得参考磁场7¾利用线性化处理来近似描述系统的非线性特性，也许可以得到足够的分析精度。?0),(TBefBTdtdJc−ωΔ−ω=ωΔ−Δ=ωΔ显然，交流伺服电机的动态模型是非线性的。线性化非线性系统例1：交流伺服电机输入ec输出ω图2.28(a)定子定子参考磁场8¾线性化：在工作点（这里是原点）附近，利用泰勒级数展开将非线性函数T进行线性化，并保留线性项，可以得到线性化非线性系统例1：交流伺服电机输入ec输出ω图2.28(a)定子定子参考磁场9umlflgumllg221)(1)sin(+θ−=+θ−=θ)sin(2θ−=θmgluml¾列写钟摆的动态方程θmglu输入u输出????线性化非线性系统例2：钟摆10非线性方程的线性化非线性方程的线性化¾几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程。但在比较小的范围运动来说，把这些关系看作是线性关系，是不会产生很大误差的。方程式一经线性化，就可以应用线性迭加原理。¾研究非线性系统在某一工作点（平衡点）附近的性能，（如图所示，(if0，ϕ0)为平衡点，受到扰动后，if(t)偏离if0，产生Δif(t)，Δif(t)的变化过程，表征系统在平衡点附近的性能）。非线性特性的线性化，实质上就是以平衡点附近的直线代替平衡点附近的曲线。ΔifΔϕΔϕΔif线性化11ΔifΔϕΔϕΔif¾设在平衡点的邻域内，ϕ对if的各阶导数（直至n+1）是存在的，它可展成泰勒级数：22000012d1d1d()()()()()d2!d!dnnfffnnfffiiiRiiniϕϕϕϕϕ+=+Δ+Δ++Δ+式中Rn+1为余项，ϕ0和if0为原平衡点,2002dd()(),ddffiiϕϕ,…为原平衡点处的一阶、二阶、…导数.Δif=if-if0)(fif=ϕŠ设非线性函数线性化非线性方程的线性化方法非线性方程的线性化方法12ΔifΔϕΔϕΔif22000012d1d1d()()()()()d2!d!dnnfffnnfffiiiRiiniϕϕϕϕϕ+=+Δ+Δ++Δ+忽略泰勒级数右端第三项及其以后的各项00d()dffiiϕϕϕ=+Δ原平衡点是已知的，故是可以从左图的曲线求得0d()'dffLiϕα==tan线性化非线性方程的线性化方法非线性方程的线性化方法13ΔifΔϕΔϕΔif式中的L’f为常值，在不同平衡点有不同的值。因此该式可写为：0d()'dffLiϕα==tan0'ffLiϕϕ=+Δ或0'ffLiϕϕϕΔ=−=Δ在平衡点附近，经过线性化处理（忽略偏移量的高次项）后，原方程的偏移量间已经具有线性关系了。偏移愈小，这个关系愈准确。线性化非线性方程的线性化方法非线性方程的线性化方法14(1)对激磁电路有：(2)找出中间变量ϕ与其它变量的关系，同时线性化。小偏差过程可用以下办法使之线性化。如前所述，设在平衡点的邻域内，ϕ对if的各阶导数（直至n+1）是存在的，它可展成泰勒级数。¾磁场控制的直流电动机。电枢电压ua为常值，输出为w，控制输入为uf。研究它的小偏差过程，例如控制输入uf改变一个微量Δuf引起的变化过程。ddfffRiutϕ+=线性化非线性方程的线性化方法非线性方程的线性化方法::例题例题15¾经线性化后，得到激磁回路偏移量间的线性关系，动态电感L’f为常值，但在不同平衡点有不同的值。(3)求以偏移量表示的微分方程式，即线性化方程式。将uf=uf0+Δuf，ϕ=ϕ0+L′fΔif，if=if0+Δif代入原方程'000d()()dfffffffRiiLiuutϕ+Δ++Δ=+Δ得：在平衡点000ddfffRiutϕ+=两式相减激磁回路偏移量微分方程式：'ddfffffiRiLutΔΔ+=Δ0'ffLiϕϕϕΔ=−=Δ线性化非线性方程的线性化方法非线性方程的线性化方法::例题例题16上面得到的激磁回路偏移量微分方程式：'ddfffffiRiLutΔΔ+=Δ在熟练后通常可直接对原方程式两边取增量求得，从而简化推导过程。它为激磁回路动态时间常数，则有：若令''fffLTR='d1dfffffiTiutRΔ+Δ=Δ上式把原来的非线性数学模型，转化成了以偏移量表示的常系数线性数学模型。在线性化过程中，只考虑了泰勒级数中的一次偏量，故该式又称为一次线性化方程式。线性化非线性方程的线性化方法非线性方程的线性化方法::例题例题170),(TBefBTdtdJc−ωΔ−ω=ωΔ−Δ=ωΔ∵),(ω=cefT泰勒级数展开非线性系统例1：交流伺服电机ec或cceKKBdtdJ=ω−+ωω)(线性化ωΔω∂∂+Δ∂∂+=ω=ω=ω=ω=ω=ω=0000000cccccceeceeceefeefTTωΔ+Δ+=ωKeKTcc0于是cceKKBdtdJΔ=ωΔ−+ωΔω)(参考磁场18非线性系统例2：钟摆)sin(2θ−=θmgluml¾列写钟摆的动态方程θmglu输入u输出umlflgumllg221)(1)sin(+θ−=+θ−=θumllgddfff20001)sin()0cos(0)sin()()()(0+θ−≈θθ≈θ⇔θ+≈θ⇔θ−θθ+θ≈θ=θ¾利用线性化方法，可以得到钟摆动态方程为线性化19M200gm:=g9.8ms2:=L100cm:=θ00rad:=θπ−15−π16,π..:=T0Mg⋅L⋅sinθ0()⋅:=T1θ()Mg⋅L⋅sinθ()⋅:=T2θ()Mg⋅L⋅cosθ0()⋅θθ0−()⋅T0+:=4321012341050510T1θ()T2θ()θStudentsareencouragedtoinvestigatelinearapproximationaccuracyfordifferentvaluesofθ0线性化非线性系统例2：钟摆20¾要建立整个系统的线性化微分方程式，1.首先确定系统处于平衡状态时，各元件的工作点；2.然后列出各元件在工作点附近的偏移量方程式，消去中间变量；3.昀后得到整个系统以偏移量表示的线性化方程式。小结小结线性化21第二章总结¾首先，介绍了建模的基本概念及重要性¾为了列写微分方程及状态方程，介绍了一些物理系统及相应的物理规律，包括：电气、机械、热力、液位等¾介绍了矩阵、状态、传递函数、方块图等基本概念¾介绍了线性化概念及方法22第二章总结¾输入输出变量¾方程的阶——储能元件¾输入输出模型的一般形式¾状态空间方程¾问题：各种模型之间的关系是如何的？23第二章总结各种模型之间的关系9微分方程9传递函数（拉普拉斯形式）9状态方程LT(LT)-1????控制科学与工程学系