用3.2.5关于点(直线)对称的直线方程

3.2.5关于点（直线）对称的直线方程例已知直线l:2x+y+3=0,求l关于点A(1,2)对称的直线l1的方程.解法一：当x=0时，y=-3.点(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(2,7).当x=-2时,y=1.点(-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(4,3).因此,直线l1的方程为：723742yx化简得:2x+y-11=0题型一、两直线关于点对称那么,点(2,7),(4,3)在l1上.方法总结：第一步，在已知直线上找两点（整数点），一般令x=0和y=0，第二步，求出这两点关于已知点的对称点，第三步，利用两点式写出对称直线的方程.解法二：∵直线l1与l关于点A(1,2)对称，∴l∥l∴l与l1的斜率相同，∴kl1=-2∴直线l1的点斜式方程为：y-7=-2(x-2)化简得：2x+y-11=0例已知直线l:2x+y+3=0,求l关于点A(1,2)对称的直线l1的方程.题型一、两直线关于点对称∵当x=0时，y=3.点(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(2,7).∴点(2,7)在直线l1上.方法总结：①若两条直线关于某点对称，则这两条直线平行；②解题步骤是：第一步,由两线对称求出所求直线的斜率；第二步,在已知直线上找一点(一般令x=0或y=0)，求出这点关于已知点的对称点;第三步,利用点斜式写出对称直线的方程.解法三：设点P(x,y)为直线l1上的任意一点，则其关于点A(1,2)对称的对称点Q为(2-x,4-y)，∵直线l1与直线l关于点A(1,2)对称，∴点Q(2-x,4-y)在直线l上，∴2(2-x)+(4-y)+3=0，即：2x+y-11=0例已知直线l:2x+y+3=0,求l关于点A(1,2)对称的直线l1的方程.题型一、两直线关于点对称求谁设谁方法总结：①“求谁设谁”是解决数学问题的一种方法；②解题步骤是：第一步,设出所求直线上任意一点P的坐标(x,y)；第二步,求出P点关于已知点的对称点Q的坐标;第三步,将点Q的坐标代入已知直线方程，整理得出所求直线的方程.此方法为通法，求对称的直（曲）线方程都用此方法。练习1.直线y=3x+3关于点M（3，2）对称的直线l的方程是。解：设所求直线上的任意点坐标(x，y)关于点M(3，2)对称点（6-x、4-y），∵对称点在已知直线上，∴将y=3x+3中的x、y分别代以（6-x）、（4-y），得4-y=3（6-x）+3，即3x-y-17=0．∴所求直线方程为3x-y-17=0．3x-y-17=02.直线y=3x-4关于点P（2，-1）对称的直线l的方程是。3x-y-10=03.与直线2x+y-1=0关于点（1，0）对称的直线的方程是。2x+y-3=04.直线y=2x+1关于坐标原点对称的直线方程是。y=2x-1题型二、两点关于直线对称问题例若点A（2，0）关于直线y=2x+1对称的对称点为点B，则点B的坐标.（-2，2）方法总结：求已知点关于直线的对称点的步骤：第一步，设出所求点的坐标(m，n)—求谁设谁;第二步，利用以下条件列出方程组：①两点的连线的斜率与已知直线垂直斜率之积为-1;②两点连线段的中点在已知直线上.第三步，解方程组即可得到m、n的值，从而得到所求点的坐标。1.点A（0，1）关于直线2x+y=0的对称点坐标是.练习2.点（3，9）关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标为.（-1，-3）例求点（2，5）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标.题型二、两点关于直线对称问题解法一：例求点（2，5）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标.题型二、两点关于直线对称问题解法二：由x+y+1=0得到x=-y-1，将y=5代入，可得x=-6；再由x+y+1=0得到y=-x-1，将x=2代入，可得y=-3；∴点（2，5）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标（-6，-3）.方法总结：求已知点关于某直线的对称点，若直线的斜率为1或-1，则可简化运算，利用以上方法解答即可。注意：此方法对于斜率不是±1的情况不适用。1.点（1，0）关于直线x+y+1=0的对称点是.练习2.点M（3，-1）关于直线y=x的对称点的坐标是.（-1，-2）（-1，3）3.点（-1，1）关于直线x-y-1=0的对称点的坐标是.（2，-2）4.点（2，2）关于直线x-y+3=0的对称点坐标是．（-1，5）1.点（2，5）关于直线x=1的对称点的坐标为.（0，5）练习2.点P（1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是.（1，0）例求直线x+2y-3=0关于直线x=1对称的直线的方程.题型三、两线关于直线对称问题解：∵方法：若两直线关于直线x=a对称，则这两直线的斜率互为相反数.1.直线x-4y+2=0关于直线x=-2对称的直线方程是.练习2.(2012•贵阳模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=3对称的直线方程为．解：∵直线x-2y+1=0关于直线x=3对称，所以对称直线的斜率为-2，再由直线x-2y+1=0与直线x=3的交点为（3，2），∴对称直线的方程为y-2=-2（x-3），即2x+y-8=0，故答案为2x-y-8=0．.x+4y+2=0x+2y-8=0例直线3x-y+3=0关于x-y-2=0对称的直线方程为．题型三、两线关于直线对称问题x-2y-9=0方法总结：求已知直线关于某直线的对称对称直线，若直线的斜率为1或-1，则可简化运算，利用以上方法解答即可。注意：此方法对于斜率不是±1的情况不适用。求已知直线关于某直线的对称对称直线，斜率不是±1的情况，一般不予考查.1.直线x+2y-3=0关于直线x+y-1=0的对称直线方程为.练习2x+y=02.直线3x+4y=2关于直线y=x的对称直线的方程是.4x+3y=23.求直线l1：y=2x+3关于直线l：y=x+1对称的直线l2的方程．x-2y=04.(2012•汕头一模)已知直线x+3y-1=0关于直线y=x对称的直线方程是．3x+y-1=05.直线2x+3y-6=0关于直线x+y+2=0对称的直线方程为.3x+2y+16=0例1已知两点A（8，6），B（-4，0），在直线l：3x-y+2=0上找一点P，使|PA|-|PB|最大，则点P的坐标为．题型四、两线段之和最小（之差最大）问题方法总结：使|PA|-|PB|最大．若A、B在l的同侧，则直接连线求交点P即可；若A、B在l的异侧，则将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P．A(8,6)B(-4,0)3x-y+2=0(2,-2)P判断两点在直线的同侧还是异侧，只需把两点代入直线方程，若之积为正，同侧；若之积为负，异侧.例2已知直线l：x-2y+8=0和两点A（2，0），B（-2，-4），若直线l上存在点P使得|PA|+|PB|最小，则点P的坐标为．题型四、两线段之和最小（之差最大）问题方法总结：使|PA|+|PB|最大．若A、B在l的异侧，则直接连线求交点P即可；若A、B在l的同侧，则将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P．（-2，3）解：∵(2-0+8)(-2+8+8)0,∴点A、B在直线l的同侧，判断两点在直线的同侧还是异侧，只需把两点代入直线方程，若之积为正，同侧；若之积为负，异侧.练习1.已知点A（-3，4）和B（-2，1），试在y轴上求一点P，使|PA|+|PB|的值最小，并求出点P的坐标．练习2.已知点A（-3，5），B（2，15），在直线l：3x-4y+4=0上求一点P，使|PA|+|PB|最小．练习3.（1）已知两点A（3，-3），B（5，1），直线l：y=x，在直线l上求一点P，使|PA|+|PB|最小．（2）已知两点A（-3，3），B（5，1），直线l：y=x，在直线l上求一点P，使||PA|-|PB||最大．练习4.已知平面上两点A（3，-3）及B（2，15），在直线l：3x-4y+4=0上有一点P，可使|PB|-|PA|最大，则点P的坐标为．（-8，-5）5.已知直线l：y=x-1，点A（1，2），B（3，1），若在直线l上存在一点P，使得|PA|-|PB|最大，则点P坐标为．（3，2）6.已知点A（3，1），在直线x-y=0和y=0上分别有点M和N使△AMN的周长最短，求点M、N的坐标．例△ABC中，已知点A（3，-1）和点B（10，5），∠B的平分线所在直线方程为x-4y+10=0，求BC边所在直线的方程．题型五、与角平分线有关的问题方法：角的两边关于角的平分线对称.练习1.已知在△ABC中，顶点A的坐标为（1，4），∠ABC的平分线所在直线方程为x-2y=0，∠ACB的平分线所在直线方程为x+y-1=0，求BC边所在的直线方程．练习2.在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．3.已知△ABC的顶点A(1,5),AB边上的中线所在直线方程为20x+9y-17=0,∠B的平分线所在直线方程为y=1，求BC边所在直线方程．练习4.已知△ABC,点A（1，5）,∠B的平分线所在方程为y=x+1，AB边上中线方程为，则边BC所在直线方程为．1 12yx4x-7y-2=0练习特别注意：本节课所学习的方法，是通性通法，对于今后学习圆、圆锥曲线照样适用！