概率论课件--第4章第2讲随机变量序列的两种收敛性

§4.2随机变量序列的两种收敛性上一节我们由大数定理可得,在贝努里试验中,事件发生的频率稳定于概率,即,?自然想到的是随机变量序列是否依这种方式能稳定于一个随机变量呢.这就是我们要讲的依概率收敛问题1}{limPnPnnlim{||}1lim{||}0)nnnnPP1依概率收敛定义：设{}是随机变量序列,若存在随机变量(或常数),对于任意ε0,有n则称随机变量序列{}依概率收敛于,记nξ)P(或ξPξlimnnn为{},{},(,)(,),(,)(,)kkkkabfxyabffab例1:设依概率收敛于依概率收敛于在点连续则依概率收敛于(,)(,),fxyab证明:因在点连续故对02220,()()xayb当时有|(,)(,)|fxyfab于是{|(,)(,)|}kkffab222{()()ab}2222{()}{()}22kkab{||}{||}22kkab故有0{|(,)(,)|}kkPffab{||}{||}22kkPaPb由于lim{||}2kkPalim{||}02kkPb所以{|(,)(,)|}0kkPffab在上面所讲的收敛概念中,尚未直接涉及到随机变量序列的分布函数列{Fn(x)}和随机变量的分布函数F(x)之间的关系,而分布函数又完整地刻划了随机变量的统计规律,因此有必要讨论{Fn(x)}与F(x)之间的关系.2.依分布收敛定义:设F(x),F1(x),F2(x),…是一列分布函数,如果对F(x)的每个连续点x,都有F(x)(x)Flimnn则称分布函数列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x),并记作)(nF(x)(x)FWn如果随机变量序列的分布函数列{Fn(x)}弱收敛于随机变量的分布函数F(x),则称依分布收敛于,并记作{}n{}n()Lnn3.二种收敛的关系依概率收敛依分布收敛其逆不真定理:若随机变量序列依概率收敛于,则依分布收敛于.{}n{}n证明:设随机变量序列和随机变量的分布函数分别为{Fn(x)}和F(x),对任意的x,y∈R有{}n{}{,}{,}nnyxyxy{}{,}nnxxy()lim()nnFyFx()(){,}nnFyFxPxy,yx如果由依概率收敛的定义可得{,}{||}0nnPxyPxy()n同理,由{}{,}nzxz{}{,}{,}nnnxxzxz()(){,}nnFxFzPxz有,xz如果由依概率收敛的定义可得{,}{||}0nnPxzPzx()nlim()()nxFxFz()lim()lim()()nnxxFyFxFxFzlim()()nxFxFx,,(),yxzxxFx令由为的连续点有时当zxy例2:抛掷一枚均匀的硬币,有两个可能结果ω1=出现正面,ω2=出现反面,于是有P{ω1}=P{ω2}=1/2令121,()1,1,111,2/11,0)(xxxxF则随机变量的分布函数为lim()()nnFxFx显然有YXLn()(),()()().Fx若令则与有相同的分布函数()(),()()()().nnnFxFx再令则与有相同的分布函数但对任意的0ε2,恒有所以:依分布收敛依概率收敛不真{||}{2||}1nPPn{}即不可能有依概率收敛于定理:随机变量序列依概率收敛于常数C的充要条件是依分布收敛于常数C证明:必要性已证,下面只证充分性CxCxxF,1,0)(C由于的分布函数为对任意的ε0有{||}nPC{}{}nnPcPc1()()nnFCFC由于{Fn(x)}弱收敛于F(x),并注意到F(x)的表达式只在C点不连续,从而lim{||}0nnPCn{}C即有依概率收敛于弱收敛的判断方法由于此定理表明了分布函数与特征函数的一一对应关系有连续性,因此该定理称为特征函数的连续性定理.这个定理的证明只涉及到数学分析的一些结果但证明较冗长，证明略.定理：分布函数序列{}弱收敛于分布函数的充要条件是：{}的特征函数序列{}收敛于的特征函数.)(tn)(xFn)(xFn)(xF)(xF)(t:)Poisson例3若服从普哇松(证明221lim2txPxedt证明:()exp{(1)}itte的特征函数为(),gt设的特征函数为则t)}λiexp{λt(t)gλλtλi1eλexpλti有,Rt)1(!21}exp{2ottititieti1lim2)1(2lim22tot22)(limtetg)1,0(~limNY11{||}1limnknkPan辛钦{},,()nt证明:同分布它们有相同的特征函数这个相同的特征函数记为定理(辛钦大数定律):设{}是相互独立同分布的的随机变量序列,若有数学期望(k=1,2,…),则对于任意给定的ε0,恒有kEak辛钦大数定律证明(0)()kaEi)()0()0()(tott1()iatot()nnttn11()ntiaonn11nnkkn记{||}1limnnPa有,Rtiatnnnenatiatn)1(1lim)(lim课堂练习设随机变量序列{}依分布收敛于随机量，随机变量序列{}依概率收敛于0,则{}依概率收敛于0.nnnn小结1依概率收敛的定义及其判别;2依分布收敛的定义及其判别;3两种收敛之间的关系;4辛钦大数定律的证明.作业：P2204.8,4.10,4.11,4.18休息片刻继续