高中数学必修5(必修五)课件第一章：解三角形

第一章解三角形•1.1正弦定理和余弦定理•1.1.1正弦定理自主学习新知突破•1．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用．•2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状．•1．如图，在Rt△ABC中，A＝60°，斜边c＝4，•[问题1]△ABC的其他边和角为多少？[提示]∠C＝90°，∠B＝30°，a＝23，b＝2.AB[问题2]试计算asinA，bsinB，csinC的值，三者有何关系？[提示]asinA＝23sin60°＝4，bsinB＝2sin30°＝4，csinC＝4sin90°＝4，三者的值相等．•2．如图，△ABC为锐角三角形．作出BC边上的高AD.[问题1]bsinB与csinC相等吗？[提示]由AD＝csinB，AD＝bsinC知csinB＝bsinC.∴bsinB＝csinC.[问题2]asinA与这两者也相等吗？•[提示]相等．•(1)定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．•(2)表达式：______________________.正弦定理asinA＝bsinB＝csinC1．正弦定理的变形公式正弦定理以下变形，可直接应用．(1)asinB＝bsinA；asinC＝csinA；bsinC＝csinB(交叉相乘)；(2)a＝bsinAsinB；sinB＝bsinAa；(3)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)；(4)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.•(1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．•(2)利用正弦定理可以解决以下两类有关解三角形的问题：•①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角；•②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角．解三角形2．利用正弦定理解三角形的步骤：(1)两角与一边――→三角形内角和定理第三个角――→正弦定理另两边(2)两边与其中一边的对角――→正弦定理另一边对角的正弦值―→确定此角与其他的边和角•3．利用正弦定理解三角形的注意事项：•(1)要结合平面几何中“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．•(2)明确给定的三角形的元素，为了防止漏解或增解，有时常结合几何作图进行判断．•1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c.•其中正确的个数是()•A．1B．2•C．3D．4•解析：正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．•答案：B2．在△ABC中，下列式子与sinAa的值相等的是()A．bcB．sinBsinAC．sinCcD．csinC解析：由正弦定理得asinA＝csinC，所以sinAa＝sinCc，故选C.答案：C3．已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于________．解析：由正弦定理知asinA＝bsinB，得2sinA＝3sin60°，解得sinA＝22.又a＝2b＝3，所以AB，所以A＝45°.答案：45°•4．根据下列条件，解△ABC.•(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C，A，a；•(2)在△ABC中，B＝45°，C＝75°，b＝2，求a，c，A.解析：(1)由正弦定理得sinC＝c·sinBb＝8sin30°4＝1.∵30°C150°，∴C＝90°，从而A＝180°－(B＋C)＝60°，a＝c2－b2＝43.(2)∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－(B＋C)＝180°－(75°＋45°)＝60°.又∵asinA＝bsinB，∴a＝bsinAsinB＝2×sin60°sin45°＝6，同理，c＝sinCsinBb＝sin75°sin45°×2＝3＋1.合作探究课堂互动已知两角及一边解三角形•在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，求b.•[思路点拨]解决本题可先利用三角形内角和定理求C，再利用正弦定理求b.[边听边记]∵A＋B＋C＝180°，∴C＝105°.∵bsinB＝csinC，sin105°＝sin(45°＋60°)＝22×32＋12＝6＋24，∴b＝c·sinBsinC＝10×sin30°sin105°＝5(6－2)．•本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是：•(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；•(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．•1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.解析：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由bsinB＝asinA得，b＝asinBsinA＝8×sin60°sin45°＝46，由asinA＝csinC得，c＝asinCsinA＝8×sin75°sin45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．∴A＝45°，b＝46，c＝4(3＋1)．已知△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，求B，C及c.已知两边及一边的对角解三角形•[思路点拨]由题目已知条件，选用正弦定理求出另一边对角的正弦，然后求解其他边、角．[规范解答]a＝23，b＝6，ab，A＝30°90°.又因为bsinA＝6sin30°＝3，absinA，所以本题有两解.4分由正弦定理得：sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，故B＝60°或120°.6分当B＝60°时，C＝90°，c＝a2＋b2＝43；8分当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝23.10分所以B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.12分•已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时，首先用正弦定理求出另一边对角的正弦值，再利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角．当已知大边对的角时，可判断另一边所对的角为锐角，当已知小边对的角时，则不能判断．2．在△ABC中，若c＝6，C＝π3，a＝2，求A，B，b.解析：由asinA＝csinC，得sinA＝asinCc＝22.∴A＝π4或A＝34π.又∵ca，∴CA.∴只能取A＝π4，∴B＝π－π3－π4＝5π12，b＝csinBsinC＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1.判断三角形的形状•在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．•[思路点拨]已知等式中既有边又有角，可以利用正弦定理把边化为角，再利用角之间的关系判断△ABC的形状．解析：由已知得a2sinBcosB＝b2sinAcosA，由正弦定理的推广得a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆的半径)，∴4R2sin2AsinBcosB＝4R2sin2BsinAcosA，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，又A，B为三角形的内角，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．•(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．•(2)判断三角形的形状，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.•3．在△ABC中，若b＝acosC，试判断该三角形的形状．解析：∵b＝acosC，asinA＝bsinB＝2R.(2R为△ABC外接圆直径)∴sinB＝sinA·cosC.∵B＝π－(A＋C)，∴sin(A＋C)＝sinA·cosC.即sinAcosC＋cosAsinC＝sinA·cosC，∴cosAsinC＝0.∵A，C∈(0，π)，∴cosA＝0，∴A＝π2，∴△ABC为直角三角形．判断三角形解的情况•在△ABC中，分别根据所给条件指出解的个数．•(1)a＝4，b＝5，A＝30°；(2)a＝5，b＝4，A＝90°；•[思路点拨]画出示意图结合大边对大角，判定解的个数．(3)a＝3，b＝2，B＝120°；(4)a＝3，b＝6，A＝60°.解析：(1)∵ab，bsinA＝524，∴本题有两解，如图(1)．(2)∵ab，A＝90°，∴AB.∴本题有一解，如图(2)．(3)∵B90°，ab，∴本题无解，如图(3)．(4)∵ab，bsinA＝6×32＝322.∴absinA，∴本题无解，如图(4)．•(1)三角形解的情况•已知两边及其中一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a＝bsinA②a≥bbsinAababsinAaba≤b解的个数一解两解无解一解无解•(2)在三角形中，ab⇔AB，而由正弦定理可得ab⇔sinAsinB．所以，在三角形中，sinAsinB⇔AB.因此判断三角形解的个数问题也可以用上述结论．4．已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝7，b＝8，A＝105°；(2)a＝10，b＝20，A＝80°；(3)b＝10，c＝56，C＝60°.解析：(1)∵a＝7，b＝8，∴ab，又∵A＝105°90°，∴本题无解．(2)a＝10，b＝20，ab，A＝80°90°，∵bsinA＝20·sin80°20·sin60°＝103，∴ab·sinA，∴本题无解．(3)b＝10，c＝56，bc，C＝60°90°，本题有一解．∵sinB＝bsinCc＝10·sin60°56＝22，∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.∴a＝bsinAsinB＝10·sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)．◎在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，且b＝6，a＝23，A＝30°，求ac的值．【错解】由正弦定理知：asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝6·sin30°23＝32.∴B＝60°.故C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.在Rt△ABC中，C＝90°，a＝23，b＝6，c＝43.故ac＝23×43＝24.•【错因】这位同学在解题过程中，犯了一个“致命”的错误．已知三角形的两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形时，没有借助大边对大角作出判断，从而导致解题结果不全面的情况．解答此类问题时要特别小心，除用以上说明的方法作出判断外，有时也可借助图形加以判断，应尽量避免增根或失根问题的出现．【正解】由正弦定理asinA＝bsinB得sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32.由条件b＝6，a＝23，ba知BA.∴B＝60°或120°.(1)当B＝60°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.在Rt△ABC中，C＝90°，a＝23，b＝6，c＝43，∴ac＝23×43＝24.(2)当B＝120°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°，∴A＝C，则有a＝c＝23.∴ac＝23×23＝12.谢谢观看！•1.1.2余弦定理自主学习新知突破•1．了解向量法推导余弦定理的过程．•2．能利用余弦定理求三角形中的边角问题．•3．能利用正、余弦定理解决综合问题．•在△ABC中，AB＝3，BC＝2，B＝60°.•[问题1]△ABC确定吗？•[提示]确定．•[问题2]能否用正弦定理解上述三角形？•[提示]不能．•[问题3]你会利用向量求边AC吗？[提示]会．|BA→|＝3，|B