云师堂,高考数学,2017一轮复习第二章第14讲

第14讲定积分与微积分基本定理第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．定积分的概念在abf(x)dx中，a，b分别叫做积分________与积分________，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．下限上限栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．定积分的性质(1)abkf(x)dx＝____________(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝________________________；(3)abf(x)dx＝acf(x)dx＋________________(其中acb)．kabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxcbf(x)dx栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝____________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿­莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作________，即abf(x)dx＝F(x)ba＝F(b)－F(a)．F(b)－F(a)F(x)ba栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．辨明三个易误点(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量．(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积为正，而定积分的结果可以为负．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．能正确应用求定积分的两种基本方法求简单的定积分(1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)．(2)利用定积分的几何意义求定积分当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．如：定积分011－x2dx的几何意义是求单位圆面积的14，所以011－x2dx＝π4.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．(2014·高考陕西卷)定积分01(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1C解析：01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)10＝e，故选C.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．(选修2­2P56例1改编)由曲线y＝x2，y＝x围成的封闭图形的面积为()A.16B.13C.23D．1B解析：由题意可知所求面积(如图阴影部分的面积)为01(x－x2)dx＝23x32－13x310＝13.故选B.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．若0Tx2dx＝9，则常数T的值为________．3解析：因为0Tx2dx＝13T3＝9，T0.所以T＝3.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用4.02－x2＋2xdx＝________．π2解析：由定积分的几何意义可知，02－x2＋2xdx为圆(x－1)2＋y2＝1在x轴上方的半圆面积，即02－x2＋2xdx＝π2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用5．(2016·天津模拟)作变速直线运动的质点的速度是v(t)＝t，0≤t≤20，20，20t≤80(单位m/s)，则该质点从t＝10到t＝30时所经过的路程是________m.350解析：s＝1030v(t)dt＝1020tdt＋203020dt＝12t22010＋20t3020＝350.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用利用微积分基本定理求下列定积分：(1)12(x2＋2x＋1)dx；(2)0π(sinx－cosx)dx；(3)02|1－x|dx.考点一定积分的计算栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解](1)12(x2＋2x＋1)dx＝12x2dx＋122xdx＋121dx＝x3321＋x221＋x21＝193.(2)0π(sinx－cosx)dx＝0πsinxdx－0πcosxdx＝(－cosx)π0－sinxπ0＝2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(3)02|1－x|dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx＝x－12x2|10＋12x2－x|21＝1－12－0＋12×22－2－12×12－1＝1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用若本例(3)变为“03|x2－1|dx”试求之．解：03|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋13(x2－1)dx＝x－13x310＋13x3－x31＝1－13＋6＋23＝223.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用计算一些简单定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为常数与幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等函数之积的和或差；(2)把定积分用定积分的性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式(逆向思维)找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿­莱布尼茨公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．分段函数的定积分要分段积分，特别注意定积分的计算不是定积分的几何意义，其所求的值可正可负．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1.计算下列定积分：(1)－13(3x2－2x＋1)dx；(2)12x－1xdx；(3)02ex2dx.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解：(1)－13(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)3－1＝24.(2)12x－1xdx＝12x2－lnx|21＝32－ln2.(3)02ex2dx＝2ex2|20＝2e－2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度：(1)根据条件求平面图形面积；(2)利用平面图形的面积求参数．考点二利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)(2015·高考天津卷)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．(2)设a0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________．1649栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解析](1)如图，阴影部分的面积即为所求．由y＝x2，y＝x，得A(1，1)．故所求面积为S＝01(x－x2)dx＝12x2－13x3|10＝16.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)由题意知0axdx＝a2.又23x32′＝x，则23x32a0＝a2.即23a32＝a2，所以a＝49.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用用定积分求平面图形面积的四个步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2.(1)如图，函数f(x)＝x＋1，－1≤x0，cosx，0≤x≤π2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为()A.32B．1C．2D.12(2)由抛物线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积为________．A2栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解析：(1)根据定积分的几何意义，结合图形可得所求的封闭图形的面积：S＝12×1×1＋0π2cosxdx＝12＋sinxπ20＝12＋sinπ2－sin0＝32.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)如图所示，由y＝x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点分别为(－1，0)和(1，0)．所以S＝02|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝x－x3310＋x33－x21＝1－13＋83－2－13－1＝2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25ln113C．4＋25ln5D．4＋50ln2考点三定积分在物理中的应用C栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解析]由v(t)＝7－3t＋251＋t＝0，可得t＝4t＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s，此期间行驶的距离为04v(t)dt＝047－3t＋251＋tdt＝7t－32t2＋25ln（t＋1）40＝4＋25ln5.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝abv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝abF(x)dx.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3.(2016·杭州模拟)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_____