阵列信号处理第二讲(Part_B)04_03_16

1阵列信号处理第二讲线性阵列方向图合成(PartB)2四、特定旁瓣结构下的最小波束宽度线性等间距阵列：3我们考虑在给定最大旁瓣情况下的最小波束宽度的问题。主要考虑了Dolph-Chebychev加权法。它可以产生恒定的旁瓣，且可以得到在给定旁瓣水平下的最小波束宽度。在许多情况下，并不需要恒定的旁瓣，而是需要逐渐衰减的旁瓣结构。此时可以采用Taylor加权。我们考虑的情况是均匀的线性阵列，指向为broadside。希望的波束方向图是一个实的对称的函数，所以我们的权值是实数，且是对称的。4N为奇数时，我们定义权值为：假定波束方向图是实对称函数，则权值是实对称权值。则我们可以把方向图写成三角函数形式：N为偶数时，我们定义权值为：且：则：5Dolph-chebychev阵列目标：推导一个幅度的分布，使对应的方向图具有在给定的最高旁瓣要求下的最小的波束宽度。其中的每一项可以表示成多项式的形式：6定义：前八项Chebychev多项式的表达式为：m阶chebychev多项式的定义为：则Chebychev多项式可以表示为：7有：其中的系数为：Chebychev多项式的性质：(1)对于m2(2)m阶多项式在（-1,1）内有m个实根，且根为：解值为：(3)m阶多项式在x属于（-1,1）内的最大值和最小值是相互交替出现的，最值的幅度为1。所以，多项式在间隔（-1,1）内是等纹波的。8(4)所有的多项式均通过点(1,1)，且在x=1的位置,有|Tm(1)|=1。对于x1，有|Tm(1)|1。9拟合的方法是：令阵列方向图对应的多项式，等于一个Chebychev多项式，使阵列多项式的系数等于Chebychev多项式的系数。则该方向图将对应一个Chebychev多项式的图。我们定义：考虑下图中的T5(x)10拟合的过程：(1)对于一个N阵元的阵列，选择一个m=N-1的Chebychev多项式；(2)根据给定的旁瓣的高度R，确定出对应的x0点；(3)利用座标的压缩关系，把x0压缩到对应于1的位置。注意此时的零点的位置也压缩了x0倍；或(4)得到对应的归一化波束方向图的表达式：定义令(5)确定出方向图对应的加权值；11最简单得到权值矢量的方法是：得到波束方向图的零点，然后利用(2.88)式。原先的零点由(3.138)给出：或把座标换到w空间，得到：利用(3.148)得到在空间的零点：然后我们构造一个N*N矩阵：利用(2.88)式，得到：12例3.4.1：考虑一个8阵元全向阵元阵列，阵元间距为/2。设计一个Dolph-Chebychev权值，旁瓣为-26dB。在这里，R=20，我们令：根据(3.145)则：利用(3.156)，得到权值为：13d=/214对于其他d值的情况，我们有：取值范围左边为-1对应的d为：151617Taylor加权Taylor的技术是约束最大旁瓣的高度，并保持旁瓣的衰减趋势。其主要思想是移动比较靠内部的零点的位置，使旁瓣降低，同时保持外面的零点位置，使旁瓣保持衰减的趋势。我们定义：则：零点位置为：上式为：18可以写出一个新的方向图表达式：新零点的位置为：其中：上式中R的定义和Chebychev窗中的相同。我们同样可以用零点的信息，求得权值。对于阵列，我们定义：U空间的零点为：标准线阵的权值可以利用(2.88)，并结合零点得到。1920Villeneuve分布Villeneuve分布是综合了均匀分布和chebychev加权的优点，利用chebychev加权的前面n个零点，来代替均匀加权方向图的前面n个零点。Chebchev窗的波束方向图可以写成：其中：我们考虑N为奇数的情况。根为：波束方向图可以写成(N=2M+1)：21Villeneuve为阵列设计了一个加权的技术。综合了均匀加权和Chebychev权值的优点。以一个均匀加权开始，前面的n-1个零点改为修正的Dolph-Chebychev零点。结果得到的波束方向图为：其中，分子为修正的Dolph-Chebychev零点。修正的目的是在n=n的位置上不会出现一个跳变，分母为均匀加权的零点：Dolph-Chebychev零点由(3.187)给出。每个零点乘上：22则：新零点为：其余的零点是均匀的：2324四、最小二乘方向图合成最小二乘误差为：求导得到：我们定义：最优权值的计算公式：对于标准均匀线阵：25所以：对于实对称的Bd()，我们利用对称的下标会比较方便。N为奇数时，N为偶数时，两种情况下，均有根据(3.202)和(3.203)，波束方向图可以表示为(N为奇数)：26在一些情况下，在一定的范围-00内，Bd()为常数，其余的位置值为零，此时例3.5.1：理想的方向图Bd()如图3.32所示。在60120具有均匀的值。对于N=10和N=20的标准线性阵列。我们给出最小二乘设计的结果，同时给出woodward采样方法进行比较。我们看到，这个方向图存在Gibbs振荡。可以利用加窗来减小这个振荡。2728为了介绍加窗的概念，我们把(3.205)写成：其中R[m]是一个离散的矩形窗。我们将其傅立叶变换表示为BR(),并归一化，使得BR(0)等于1。N为奇数时：根据傅立叶变换的性质，(3.209)对应于卷积：或者：其中：29例3.5.2：理想的波束方向图Bd()在图3.32中给出。在u空间-0.5u0.5的范围内是均匀的。利用(3.202)式计算了amo。合成的方向图为：我们考虑标准的11阵元线阵。考虑下面三种窗：结果得到的方向图在图3.33(a)和(b)中给出。窗函数的使用，减小了振荡，加宽了过渡带。3031五、零点调整我们考虑在拟合一个理想方向图的同时，满足零点的要求。其中：对于均匀线阵(N为奇数时)，这成为：目标：选择权值，在零点约束条件下，合成一个方向图。32首先考虑任意结构的阵列。设理想权值为Wd：理想方向图：实际方向图：则我们使理想方向图和实际方向图之间的最小误差最小化，得到：把上式代入(3.247)，得到：我们考虑对波束方向图及其导数在不同的k值上施加的一些约束条件。第一种类型约束是零点约束(零阶约束)：33定义一个约束矩阵：第二种类型约束为：波束方向图针对k的一阶导数。对于线性阵列，这对应为：我们假定在一些零点位置的导数值也设置为零，定义一个约束矩阵：依此类推，第n阶导数为：N=2时，约束矩阵为：则总的约束矩阵为：34考虑标准均匀线性阵列的情况，当阵元数N为奇数时，阵列的流形矢量为：则：导数为：其中：则优化的问题为：约束条件：35约束函数：对W求导得到：或：利用：我们计算出计算出拉格朗日因子。所以：最优权值为：其中：36或者可以写成：从上式可以看出，最优权值是从理想权值中减去一个由约束矢量线性组合形成的一个分量。则：对于零阶约束条件：可见：设计的波束是从常规波束中减去多个由在不同零点位置指向的常规波束而得到的。同理，n阶导数约束下形成的最后的波束图，也是从常规波束中减去了在不同零点位置指向的常规波束的n阶导数波束图而得到的。上述结果对任意阵列也是成立的，对于零阶约束条件，我们有：37其中：结果得到的方向图误差为：例3.7.1：我们考虑一个21阵元的线性阵列，间距为/2。理想的方向图对应均匀加权的方向图。我们在u=0.22的位置设置一个零阶、一阶和二阶的约束条件。该位置位于主波束之外。结果参见图3.39。3839例3.7.2：采用和前面的例子相同的条件。我们在u1=0.21，u2=0.22和u3=0.23的位置放置三个零阶的零点。结果得到的方向图见图3.40。我们使得在0.18u0.26内的最高旁瓣为-63dB。例3.7.3：在本例中，我们考虑一个41阵元的线阵，阵元间距为/2。在前面两种情况，理想的方向图是chebychev方向图，旁瓣为-40dB。情况一：我们在0.22，0.24,0.26和0.28的位置放置四个零阶的零点。结果方向图见图3.41。情况二：我们在(0.22,0.36)之间以u=0.02的间距放置八个零阶的零点，结果见图3.42。40414243六、空间非均匀线阵•应用一:稀疏阵(Thinnedorsparsearray)：我们开始是考虑一个N阵元的均匀线性阵列，或长度为L的线性孔径。然后我们构造一个线性阵列，具有较少的阵元数目，阵元的位置可以是在线上的任意位置，也可以处在均匀网格上，同时能够保持原阵列波束图的一些性质。工作的主要动机是：减少阵列费用和复杂性。•应用二:阵列阵元的位置是在平面上(2维)，空间中(3维)中的任意的位置上。有两种情况：第一种：阵元名义上的位置是确定的，但实际的位置是随机变化的。这和前面讨论的灵敏度和容错因子有关；第二种：阵元按照一定的概率密度随机布阵，称为statisticaldensitytapering。44一、最小冗余阵列(minimumredundancyarray)MRLA（最小冗余度线性阵列）：主要设计思想是使具有相同的空间相关间隔的的对数最少。我们限制阵列阵元的位置在一些网格的点上，网格相邻单元之间的间距为d。MRLA阵列的一个示意图上图中，一个4阵元的阵列具有一个7阵元标准线阵所具有的各种延迟关系。自相关估计的表达式为：(i-j)具有从0到6的各种组合。45相应的阵元对之间的关系为：所以存在可能性，我们可以用4个阵元近似7阵元的处理性能。设阵列的长度为Na（以单位格数目为单位），阵元数目为N。为了考察一个阵列的配置是否是最小冗余，我们令每个阵元的权值为1，计算权值矢量的自相关，得到一个相关函数的表达式。结果得到的函数称为co-array，是一个对称函数。显然：最理想的情况是，在原点的值为N，在其他位置的值为1（这种阵列称为perfectarrays）。设7阵元的标准线阵的自相关矩阵为：自相关矩阵的元素为：4647这种阵列的Na和N的关系为：这是NN的自相关阵列的非对角线元素的数目。对于N4，这种阵列不存在。第一种选择：定义non-redundantarray：即coarray的值在原点外的值非零即1。第二种选择：构造阵列，coarray中没有为零的值，但尽量使Na最大。称为最小冗余阵列(minimumredundancyarrays)其中，NH是零点的数目，NR是冗余点的数目。我们希望NH为零，同时使Na尽量大。48表3.8中给出：N17的情况下，最小冗余度阵列的构造情况:49例3.9.1：考虑一个MRLA阵列，阵元间距为d=/2。均匀加权的波束方向图在图3.46中给出。HPBW为0.666，BWNOT为1.385，在空间。相应的4阵元的标准线阵的参数分别为1.429和3.1416。7阵元的标准线阵的参数分别为0.801和1.795。则，从主波束的角度来说，该MRLA的性能是比较优越的。但问题是：旁瓣的性能比均匀阵列的性能要差很多。例3.9.2：考虑表3.8中的两个五阵元阵列。在这些情况下，Na=9。波束方向图在图3.47中给出。对于第一种情况(1,3,3,2)，HPBW为0.464,BWNOT为0.98。对于第二种情况(3,4,1,1),HPBW为0.473，BWNOT为0.94。标准的10阵元阵列的相应参数为0.559和1.25。505152二、波束方向图设计算法对于任意结构的一个阵列，来迭代地设计一个理想的波束方向图。目标：寻找权值，使阵列在一系列约束条件下——对旁瓣的约束，获得最大的方向性。该方法适于任何阵列的情况，但是在这里我们只考虑全向阵元的均匀线阵的情况。阵列的方向性为：其中：53其元素为：为了使阵列的方向性最强，我们优化下面的问题：其解为：特殊情况下，标准均匀线性阵列A=I，最大的方向性权值矢量是均匀加权，具有最大的方向性。有时为了得到低旁瓣性能，需要适当地牺牲方向性。一个方法是：把空间分成多个部分，定义在每个部分的理想波束方向图，然后限制合成的方向图和理想波束图的区别。首先假定在各部分对应的理想波束图的权值为Wi，则第i个区域对应的波束图为：5455令i为：则Qi的元素为：优化的问题为：我们定义：其中：56对WH求导，