变量代换的应用

1变量代换的类型变量代换法是指用另一些新的变量来代换某些变量的解析表达式,从而使原有的问题转化为较简单的,易解决的问题的方法,这种方法也称为换元法.在学习数学的过程中,变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法.恰当地运用变量代换的观点方法,常常能起到化难为易、化繁为简的作用．变量代换有多种类型,它在解决数学问题中发挥着不可或缺的作用.我们只有掌握了变量代换的不同类型,才能在解决问题时更加得心应手.本节先给出积分运算中几种常见的变量代换,然后给出公式变形和函数解析式中的变量代换.1.1算式代换算式代换是指积分表达式中含有()axb的代换.例1求定积分1321(115)dxx.解令115xt,则115tx.当1x时,16t;当2x时,1t.所以有1321(115)dxx1631115ttd2161110t51512.1.2根式代换根式变换是指积分表达式中含有无理根式的代换.例2求定积分0341dxxx.解令tx4,则当3x时,1t;当0x时,2t.则0341dxxx2122)4(14tdtt212)3(2dtt34.1.3倒代换倒代换是指积分表达式中分母的两个自变量的幂之差大于1的代换.例3求不定积分dttt)2(17.解令xt1,则dttt)2(17dxxx7621cx721ln141711ln2ln142ttc.1.4三角代换三角代换是指积分表达式中含有22xa,22ax等形式的代换.例4求)0(022adxxaa.解令taxsin,则当0x时,0t;当ax时,2t.所以2222200cosaaxdxatdt24a.1.5指数代换指数代换是指积分表达式中含有xxae,的代换.例5求不定积分dxeexx21.解令tex,则有dxeexx21211dttarctantcarctanxec.1.6公式变形中的变量代换在解题时,我们常对一些形式的式子感到很难理解,但只要仔细分析,我们会发现它可能就是一些公式的变形形式.因此,我们在认识公式时,可适当利用变量代换法来认识其变形形式．例如sin22sincos设2,则2,于是有sin2sincos22．同样,利用变量代换方法也可来理解其他的三角函数的公式.又例如0sinlim1xxx.设()xataR,当0x时,0t,于是有0sinlim1xatat,即0sinlimxatat.如果设sinxt,则arcsinxt.同理10lim(1)xxxe,则10lim(1)attate,即10lim(1)attate.通过对公式进行变量代换,我们不仅可以加深对公式的理解,还可以看到一些我们解题时有用的式子．例如sin2()2sin()cos()FxFxFx.1.7函数解析式中的变量代换例6已知()lnnfxx,求()fe.解由于题中函数表达式不是我们习惯的形式,可先把函数表达式化为我们习惯的形式,根据题意,不妨设nxe,则1nxe.从而有11()()lnnnfxfeen.例7已知22(,)fxyxyxy,求(,)fxy表达式.解令uxyvxy,则有22uvxuvy.因此有22(,)()()22uvuvfuvuv,得(,)fxy的表达式(,)fxyxy.2变量代换在数学中的应用2.1变量代换在条件极值中的应用条件极值是高等数学中的一项重要内容,而变量代换法是求极值和最值的方法之一,他可以是问题简化.下面我们来对变量代换在极值和最值方面的应用加以探讨.设定()yfu为实函数,12(,,,)mmuuuuDE,mSE且S,12{(,,,)(),1,2,,;}miiDuuuuximxS.［文献3］引论1对于设定,若函数组()1,2,,iiuxim均在S上连续,则由函数组()1,2,,iiuxim确定的SD的映射F在S上也连续．引论2设X,Y是度量空间,映射:fXY,那么f在X上连续的充要条件是像空间Y中的任一开集U的原像1()fU是X中的开集．引论3设X是度量空间,ABX,B为开集,则A为X的开集的充要条件是A是相对于B的开集．结论1设S,D均为开集,函数组()1,2,,iiuxim在S上均连续,010((),ux200(),,())mxx,若0u是()fu的极大(小)值点,则0x为12((),(),,())mfxxx的极大(小)值点．证设由函数组()ix确定的SD的映射为F,因为()ix均在S上连续,所以F也在S上连续(引论1)．因为0u为D中极大值点,所以总存在0u点的某一邻域0()NuD,使0()uNu时,0()()fufu．因为D为开集,所以0()Nu是相对于D的开集(引论3),又因为F连续,所以10(())FNu是相对于S的开集(引论2),而S为开集,所以10(())FNu也为nE的开集(引论3)．又因为100(())xFNu,则10(())FNu为点0x的一个邻域．对于10(())xFNu,则有120((),(),())()mxxxNu,所以有12((),(),,())mfxxx10200((),(),,())mfxxx.同理可证极小值的情况.结论2在结论1中,若由函数组()1,2,,iiuxim确定的SD的映射F为一一对应,且F的逆映射1F连续(即F是SD的同胚映射),则0u是()fu的极大(小)值点的充要条件是0x为12((),(),,())mfxxx的极大(小)值点.证必要性可由结论1得证,充分性仅对极大值点的情形予以证明.设0x是12((),(),,())mfxxx的极大值点,则存在0x的一个邻域0()NxS,使0()xNx,12((),(),,())mfxxx10200((),(),,())mfxxx.由F是SD的同胚映射及引论3可知,0(())FNx的0u一个邻域．设0(())uFNx,存在xS,使得12((),(),,())muxxx,对给定的u,x是唯一存在的,则当0()xN时,12((),(),,())mfxxx10200((),(),,())mfxxx,因此有0()()fufu.在结论2中,把“极大(小)值点”都改为“严格极大(小)值点”,结论仍成立．结论3设010200((),(),,())muxxx,则0u是()fu的最大(小)值点的充要条件是0x是12((),(),,())mfxxx的最大(小)值点.(证明略)结论4设010200((),(),,())muxxx,则0u为()fu在约束条件()(1,2,;)jjLuRjkuD下的最大(小)值点的充要条件是0x为12((),(),,())mfxxx在约束条件12((),(),,())(1,2,;)jmjLxxxRjkxs下的最大(小)值点,1,2,jRRjk.(证明略)例1讨论函数222yxzxy在D上的极值与最值,(,)0,0Dxyxy约束条件为221xy.解设cos(21)sin(22)xryr(,)0,02Srr．由(2-1),(2-2)确定的映射F：SD是同胚映射,所以原问题可化为函数212tantanz在S上满足约束条件1r下的极值与最值问题,即化为函数212tantanz在区间(0,)2内的无条件极值与最值问题.设1(0,)2s,令1tan,(0,)ttD.(2-3)显然由(2-3)确定的映射111:FSD是同胚映射．这时212ztt在(0,)内有唯一驻点1t,且1t是极小值点,从而也是最小值点．又因为驻点唯一,所以函数没有极大值与最大值．当t=1时,得4；再由4及0r1得xya2(0)2a.(2-4)由以上结论可知(2-4)为函数的极小值点与最小值点,函数无极大值与最大值．例2设(,)xy为圆223xy上的任意一点,求函数233()32xfxx的极大值.这是一个在约束条件223xy下求()fx的极值问题,数学分析中传统求法是拉格朗日乘数法本节将利用变量代换方法来解决.解由(,)xy是223xy上的点,得23yx.将()fx中的23x以y替代得到3()32yfxx.因此332yx可以看做圆223xy上任一点与(32,3)连线的斜率,本题的条件极值就转化为这种连线斜率的最大值问题.显然这连线斜率应为从点(32,3)到圆223xy所做切线的斜率.不难看出,该切线的方程为:23xy,斜率K=2,因此()fx的极大值为2.例3设223xxyy,求22(,)fxyxy的最值.解设cos,sinxryr,则221sin232rr,所以2311sin22r.因此当4时,2r取最小值32112;当34时,2r的最大值36112.即满足223xxyy的22(,)fxyxy的最大值、最小值分别为6和2.很显然,例3可以改写为例3设223xxyy,求证:2226xy.此时问题就变成不等式的证明问题,因此变量代换也可以作为不等式证明的一个非常有效的方法.2.2变量代换在不等式中的应用变量代换法是一种非常有效的解题方法,尤其是处理一些复杂的不等式问题,效果明显．合理代换往往能简化题目的信息,凸显隐含条件,沟通量与量之间的关系,对发现解题思想,优化解题过程有着重要的作用．例1[6]设a、b、c均为正数,求348223acbcwabcabcabc的最小值．解本题涉及的三个变量a、b、c不具有对称性,且三个分式的分母都是多项式,如果通分,则运算量较大．因此,我们可考虑把各分母用其他变量代换,看看结果如何．令2,2,3(,,0)xabcyabczabcxyz,则有32,4484,888acyxbxyzczy,所以有248488yxxyzzywxyz244817yxzyxyyz24482217yxzyxyyz=12217.当且仅当24yxxy且48zyyz,即2yx时,上式取等号．所以当(12),(432)baca时,min12217w.例2设a、b、c是三个互不相等的正数．证明:1abbccaabbcca.解设,,abbccaxyzabbcca,则有1xyyzzx.因为2()3()3xyzxyyzzx,所以31xyz,即1abbccaabbcca.说明:本题通过局部代换,发现了隐含条件1xyyzzx,从而应用重要不等式2()3()xyzxyyzzx使问题得到解决．例3设1xy,求证:13112xyyxxy．解令,(2,1)xyaxybab,则有13112xyyxxy221312aababa3222(72)aaaba.(2-5)因为22720,()44aaxyxyb,所以3224(22)(72)aaaaa322480aaa2(2)(2)0aa.上面最后一个不等式显然成立,从而不等式(2-5