第二讲 复变函数与解析函数

第二讲复变函数与解析函数1.复变函数的定义2.映射的概念3.反函数或逆映射§5复变函数1.复变函数的定义—与实变函数定义相类似定义).(,,,,zfwzwivuwGzfiyxzG记作）的函数（简称复变函数是复变数则称复变数与之对应就有一个或几个使得存在法则的非空集合是一个复数设是多值函数.值，称多个是单值函数;值，称一个若)()(zfwzzfwz。论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨面区域（定义域）的定义集合，常常是平—)(zfG函数值集合—},)({*GzzfwwG),(),()()(),();,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz),(),(yxvvyxuu故),(),()(yxvvyxuuivuzfwxyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222则令例1xyvyxuzw2222例222221111)(yxiyyxxzf若已知.)(的函数表示成将zzfzzzf1)()(21),(21,zziyzzxiyxz则设oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：).(()(*)(变换平面）的映射平面wGwzGzzfw的原象。称为，而映象的象点为称wzzw)(定义域函数值集合2.映射的概念——复变函数的几何意义zw=f(z)w以下不再区分函数与映射（变换）。在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v与x，y之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.•复变函数的几何意义是一个映射（变换）.所构成的映射研究zw例3iirezreirz)sin(cos设解—关于实轴对称的一个映射见图1-1~1-2—旋转变换(映射)即，)sinsin()sincos())(sin(cosyxiyxiyxiivuw见图2.(实常数）所构成的映射研究zewi例4)(iiiiirereezewrez设解sinsinsincosyxvyxuoxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图1-1图1-2图2uv(w)o.2所构成的映射研究zw例5oxy(z)ouv(w)2oxy(z)ouv(w)63422yx2zw2zw2zw2zw3.反函数或逆映射例设z=w2则称为z=w2的反函数或逆映射zw)1,0(22kezzwk∴为多值函数,2支.定义设w=f(z)的定义集合为G,函数值集合为G*Gz*)(Gwzfw*Gw)()(wzGz或几个一个则称z=(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.GzzfzGwwfw)]([)]([*当反函数单值时显然有)])([(zfz一般是一一对应的。与集合是一一的。也称集合映射都是单值的，则称函数逆映射和其反函数映射当函数GGzfwwzzfw)()()()()()(例已知映射w=z3，求区域0argz在平面w上的象。3例?1:,122平面上怎样的曲线映射成被平面上的曲线判断已知映射wyxzzw1.函数的极限2.运算性质3.函数的连续性§6复变函数的极限与连续性1.函数的极限AzfzzAzfzzzfAAzfzzAzUzzfwzz)()(lim)(,)(,0,,0),,(),(000)000时，或当时的极限，记作当为则称有时当）（，若存在数设（定义uv(w)oAxy(z)o0z)(zfw几何意义:当变点z一旦进入z0的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中(1)意义中的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高.0zz(2)A是复数.2.运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：000),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf设定理1(3)若f(z)在处有极限,其极限是唯一的.0z0),(),(0),(),(00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz则BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000则若定理2以上定理用极限定义证!例1.)(22在平面上处处有极限证明yxiyxw例2.0)(时的极限在求zzzzzzf例3.0Re)(时的极限不存在在证明zzzzf在平面上处处有极限22,yxyx.)0,0()(2)(2222处极限不存在在yxyxzf3.函数的连续性定义.)()()(lim,;)(;)()()(lim0000000处连续上点在曲线，则称且、若内连续在内处处连续，则称若在区域处连续在，则称若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz.),(),(lim),(),(lim),(),()(00),(),(00),(),(0000000yxvyxvyxuyxuiyxzyxivyxuzfyxyxyxyx处连续在设定理3例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。上不连续。在负实轴在负实轴上argarglimarglim)0)(0,()2(00zzzxxPyy故不连续。在原点没有定义，arg)()1(zzf证明xy(z)ozz)0,(xP定理4连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。.0)()()()(10点外处处连续在复平面内除分母为的；在整个复平面内是连续由以上讨论zQzPzRzazaazPnnMzfMCzfC)(,0)(在曲线上恒有上连续在若内的曲线段为闭曲线或端点包括在设曲线有界性：第二章解析函数第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第三节初等函数1.复变函数的导数定义2.解析函数的概念§2.1解析函数的概念一.复变函数的导数(1)导数定义定义设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导。称此极限值为f(z)在z0的导数，记作zzfzzfz)()(lim000zzfzzfdzdwzfzzz)()(lim)('00000如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导。(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z).Re)(:可导在平面上的任何点都不证明zzf例1zzzzzf)Re()Re(:证明yixxxxyixx;0,0;1,0zfzzfz时取纯虚数趋于当时取实数趋于当.lim0不存在zfz(2)求导公式与法则①常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然数).证明对于复平面上任意一点z0，有10010021000))((limlimlim000nnnnzznnzzzznzzzzzzzzzzzzzz----实函数中求导法则的推广③设函数f(z),g(z)均可导，则[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z))0)((,)()(')()()('')()(2zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论zQzPzRzazaazPnn④复合函数的导数(f[g(z)])=f(w)g(z)，其中w=g(z)。⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。)('1)('wzf?)(,;),()(,22的可导性复函数中内可导在实函数中zzfxxf思考题例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？!0,020,012lim0不存在时当时当yxxyyixyixz)('11)5()(22zfzzzzf，求已知例2解22)1(1)52)(5(2)(zzzzzfyixyixiyyxxzzfzzfzz)2()(2lim)()(lim00解.2)(处处不可导故函数yixzf例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导。时不存在时0!))(Re(lim00Relim00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzRe)Re(limRe)Re()(lim00证明不存在！时当时当0,010,00lim0yxxyyixxz(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举。(3)可导与连续若w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.?连续在所以由此可得则令有时使得当则可导在若证明000000000000000)(),()(lim,)()()(,0lim),()()(,)()()(,,0,0,0,)(:zzfzfzzfzzzzfzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzzfzz二.解析函数的概念定义如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点。(1)w=f(z)在D内解析在D内可导。(2)函数f(z)在z0点可导，未必在z0解析。例如(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数；(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；(3)w=zRez在整个复平面上处处不解析(见例4)。定理1设w=f(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则f(z)±g(z)，f(z)g(z)及f(z)g(z)(g(z)≠0时)均是D内的解析函数。.)0()()()()(10的解析函数点外除分母为是复平面上函数；是整个复平面上的解析由以上讨论zQzPzRzazaazPnn定理2设w=f(h)在h平面上的区域G内解析,h=g(z)在z平面上的区域D内解析,h=g(z)的函数值集合G，则复合函数w=f[g(z)]在D内处处解析。作业P3426,27P663(2)(4)