9月 概率论 2.4 边缘分布条件分布及其独立性

Chapter3(2)边缘分布条件分布及其独立性教学要求：1.了解二维随机变量的边缘分布和条件分布;2.理解随机变量独立性的概念;3.掌握应用随机变量的独立性进行概率计算..边缘分布一.条件分布二.随机变量的独立性三一、边缘分布}{)(xXPxFX因为},{YxXP);,(xF}{)(yYPyFY},{yYXP).,(yF1.边缘分布函数的定义..),()()(),,()(),,()(,),(),(的边缘分布函数和简称布函数的边缘分和关于关于为和称令的联合分布函数为设YXYXyxFyFxFyFyFxFxFYXyxFYXYX2.离散型随机变量的边缘分布函数与边缘分布律ijjipyYxXPYX},{:),(的分布律为若二维随机变量则关于X的边缘分布律为:,2,1,}{1ipxXPjijiip关于Y的边缘分布律为:,2,1,}{1jpyYPiijjjp边缘分布函数为:,),()(1xxjijXipxFxF.),()(1yyiijYjpyFyF注意:联合分布与边缘分布的关系用表格表示如下：XY1x2xix1yjy11p21p1ipjp1jp2ijp2y12p22p2ip}{ixXP1p2pip}{jyYP1p2pjp3.连续型随机变量的边缘分布函数与边缘概率密度),(),(:),(yxfyxFYX与为的分布函数与概率密度若二维随机变量则关于X的边缘分布函数为:),()(xFxFXxdxdyyxf]),([关于Y的边缘分布函数为:),()(yFyFYydydxyxf]),([关于X的边缘概率密度为:)()(xFdxdxfXXdyyxf),(关于Y的边缘概率密度为:)()(yFdydyfYYdxyxf),(ex1.设X取值0,1,2;Y取值0,1的二维随机变量(X,Y)的概率分布为.,121)1,2(;81)0,2(;81)1,1(;61)0,1();1,0(41),0(求边缘分布PPPPjjP解:将关于X与Y的联合概率分布列表如下：XY012014141618181121}{ixXP21247245}{jyYP24132411∴关于X与Y的边缘概率分布为:X012ip21247245Y01jp24132411ex2.设(X,Y)的密度函数为其它020,1031),(2yxxyxyxf求：(1)(X,Y)的边缘分布密度函数;}.{)2(XYP解dyyxfxfX),()()1(其它010)31(202xdyxyx其它0103222xxxdxyxfyfY),()(其它020)31(102ydxxyx其它020316yydxdyyxfXYPxy),(}{)2(xyo12xydyxyxdxx0210)3(.24767103dxx二、条件分布1.二维离散型随机变量的条件分布设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y=yj}0，则称jijjjijippyYPyYxXPyYxXP}{},{}|{,2,1i为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.同样，对于固定的i，若P{X=xi}0，则称iijijiijppxXPyYxXPxXyYP}{},{}|{,2,1j为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.,0}|{jiyYxXP例如：i=1,2,…1}|{1ijiyYxXP2.二维连续型随机变量的条件分布条件分布函数的定义:,,0}{,0,xyYyPy且对任意的若对于任意固定的给定}{},{lim}|{lim00yYyPyYyxXPyYyxXP).|(}|{:,,|yxFyYxXPXyYYX或记为的条件分布函数下则称此极限为在条件存在条件分布函数与条件概率密度的公式:}{},{lim)|(0|yYyPyYyxXPyxFYX)()(),(),(lim0yFyFyxFyxFYY2)()(2),(),(lim0yFyFyxFyxFYY)(),(yFyxFYy)(),(yfduyufYxxYduyfyuf)(),()|()|(||yxFdxdyxfYXYX)(),(yfyxfY类似地,}{},{lim)|(0|xXxPxXxyYPxyFXYyXdvxfvxf)(),()|()|(||xyFdydxyfXYXY)(),(xfyxfXex3.已知XY12341234418112116108112116100121161000161}{ixXP}{jyYP4141414148254813487483(1)求在Y=2条件下，X的条件分布律;(2)求在X=1条件下，Y的条件分布律.解}2{}2,1{}2|1{YPYXPYXP048130}2{}2,2{}2|2{YPYXPYXP136481381}2{}2,3{}2|3{YPYXPYXP1344813121}2{}2,4{}2|4{YPYXPYXP1334813161在Y=2条件下,X的条件分布律为：Xip1234013613413314141}1{}1,1{}1|1{XPYXPXYP又0}1|4{}1|3{}1|2{XYPXYPXYP在X=1条件下,Y的条件分布律为：Y1234jp1000ex4.设(X,Y)在122yx上服从均匀分布，求条件概).|()|(||xyfyxfXYYX及率密度解其它011),(22yxyxfyxo1122yxdyyxfxfX),()(且其它01112211xdyxx其它011122xxdxyxfyfY),()(同理其它01112211ydxyy其它011122yy,11时当y)(),()|(|yfyxfyxfYYX其它011121222yxyy,11时当x)(),()|(|yfyxfxyfXXY其它011121222xyxx三、随机变量的独立性定义1：设有二维随机变量(X,Y),若对任意实数x,y有}{}{},{yYPxXPyYxXP则称X,Y相互独立.定义2：设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为),()(yFxFYX和若对任意实数x,y有)()(),(yFxFyxFYX则称X,Y相互独立.结论1.二维连续型随机变量(X,Y)相互独立)()(),(yfxfyxfYX结论2.二维离散型随机变量(X,Y)相互独立}{}{},{jijiyYPxXPyYxXPex5.一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知X和Y的联合分布函数为：其它00,01),()(5.05.05.0yxeeeyxFyxyx(1)问X和Y是否相互独立？(2)求两个部件的寿命都超过100小时的概率.解法1：(1)X和Y的边缘分布函数分别为),()(xFxFX00015.0xxex),()(yFyFY,00015.0yyey),()(),(yFxFyxFYX由于∴X和Y相互独立.}1.0{}1.0{}1.0,1.0{)2(YPXPYXP)]1.0(1)][1.0(1[YXFF.1.005.005.0eee解法2：yxyxFyxf),(),()1(2其它00,025.0)(5.0yxeyxdyyxfxfX),()(00025.00)(5.0xxdyeyx0005.05.0xxexdxyxfyfY),()(00025.00)(5.0yydxeyx0005.05.0yyey),()(),(yfxfyxfYX由于∴X和Y相互独立.}1.0,1.0{)2(YXP.25.01.01.0)(5.01.0edyedxyxex6.若(X,Y)的概率密度为其它,010,0,2),(yyxyxf问X与Y是否相互独立？解：其它其它010),1(2010,2)(1,xx,xdyxfxX)()(),(yfxfyxfYX故X和Y不独立.其它其它010,2010,2)(0,yy,ydxyfyYex7.甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5.以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求X和Y的联合概率分布.解X和Y都服从二项分布，且分别为)5.0,2(~),2.0,2(~BYBX∴X和Y的概率分布为:X012ip64.032.004.0Y012jp25.05.025.0由独立性，X和Y的联合分布为:XY01201216.032.016.008.016.008.001.002.001.0ex8.甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布.乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少？解:设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻以12时为起点,以分为单位,依题意,X~U(15,45),Y~U(0,60)其它,04515,301)(xxfX其它,0600,601)(xyfY由独立性其它,0600,4515,18001),(yxyxf}.{}5{YXPYXP和所求为法1:}55{}5{YXPYXPyxo15451060405yx5yx55451518001xxdydx.61}{YXP60451518001xdydx.21法2:518001}5{yxdxdyYXPyxo15451060405yx5yx被积函数为常数，直接求面积.]302401023060[18001.61}{YXP}{YXP.21Theend