求向量组的极大无关组

返回1重要结论矩阵A的初等行(列)变换不改变矩阵的秩,且不改变其列(行)向量间的线性关系.(证明略)返回2思路之一:定义法.(2)向量组中含向量个数最多的线性无关部分组都是向量组的极大无关组;12,,,m(1)假定是某向量组中的r个向量,如果线性无关,且向量组中任一向量都可由线性表示,则是向量组的一个极大无关组;12,,,r12,,,r12,,,r12,,,r此方法比较烦琐,较少用求向量组的极大无关组的方法总结返回3思路之二:初等行变换法.(1)将向量组中的各向量作为矩阵A的各列;(2)对A施行初等行变换(注意仅限初等行变换);(3)化A为阶梯形,在每一阶梯中取一列为代表,则所得向量组即为原向量组得一个极大无关组.用初等行变换求极大无关组是最基本的方法.返回4思路之三:利用等价性.设为某向量组的一个极大无关组,则任意r个线性无关的部分组均为极大无关组.12,,,r返回5例1求下列向量组的一个极大无关组1(2,1,3,1),3(4,2,6,2),4(4,3,1,1).2(3,1,2,0),分析:按定义向量个数最多的线性无关部分组都是向量组的极大无关组.返回6思想:(i)通过观察找出一个无关组;(ii)往前面找出的无关组中增加一个向量,若得到新的向量组仍然线性无关,则得到了新的线性无关组,否则,继续考虑下一个向量(iii)重复步骤(ii)直到考虑完所有的向量为止,这样最后得到的线性无关组便是原向量组的一个最大无关组.返回7解:1(2,1,3,1)0,1线性无关.1)2)因为的对应分量不成比例,12,所以线性无关.12,3)下面考虑向量组123,,.3112220,123,,线性相关.4)下面考虑向量组124,,.设存在一组数使得124,,,kkk1122440.kkk即124(2,1,3,1)(3,1,2,0)(4,3,1,1)(0,0,0,0).kkk返回8从而124124124142340,30,320,0,kkkkkkkkkkk解得1231,2,1.kkk即12420,也即4122.所以是向量组的一个极大无关组.12,1234,,,返回9例2考虑向量组112,1252243210,31321,01421,22求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大无关组线性表示.返回10解:用这些向量作为矩阵A的列向量，并对矩阵A作初等行变换11222201121302421123A11222025320224201321返回111122201321001100088011222013210011000000可见,为一个极大无关组.123,,135,,;124,,;145,,.事实上,均为极大无关组.返回12进一步有11002010110011000000A10011010110011000000所以有4123,51230.注:这里用到初等行变换不改变列向量之间的线性关系.返回13分析:若能证明向量组例3试证:若n维单位向量可以由n维向量线性表示,则线性无关.12,,,n12,,,n12,,,n12,,,nI:12,,,nII:等价,则又从而(I)(II),RR(I),Rn(II),Rn因此,线性无关.12,,,n返回14证明:由于n维单位向量可以由12,,,n故向量组n维向量线性表示,12,,,n又显然有n维向量可以由n维单位向量12,,,n12,,,n线性表示,12,,,nI:12,,,nII:等价,则又从而(I)(II),RR(I),Rn(II),Rn因此,线性无关.12,,,n返回15例4设为齐次线性方程组的基础解系,试判别下述向量组是否仍是的基础解系.123,,0Ax11232123323(1)3,3,;112321233123(2),2,23.分析:本题实际上已知为的解空间的极大无关组,要求证明是否仍是的解空间的极大无关组.由于已知极大无关组为三个向量,所以任意三个线性无关向量均为极大无关组,这只要证明与是否等价即可.注意:作为基础解系,应说明为解向量.123,,123,,0Ax0Ax123,,123,,123,,返回16解:只需证明线性无关即可,123,,显然均为的解,0Ax123,,而这又转化为证明与等价.123,,123,,(1)由112321233233,3,.知123123110(,,)(,,)131.311记为A返回17又1101310,311A从而()2,RA因此秩123[,,]2.(注:)()min{(),()}.RABRARB即线性相关,故不是的基础解系.0Ax123,,123,,返回18(2)由112321233123,2,23.知123123112(,,)(,,)111.123记为B又11211110,123B从而()3,RB所以矩阵B可逆,且返回19所以线性无关,123,,1123123112(,,)(,,)111.123故向量组与可以相互线性表示,123,,123,,即向量组与等价.123,,123,,从而秩秩123[,,]123[,,]3.故为的基础解系.123,,0Ax