【步步高】高考数学一轮总复习(北师大版)【打印版】

高考数学总复习一轮复习资料北师大版目录专题1集合与常用逻辑用语··········-1-§1.1集合的概念与运算·········-1-§2命题及其条件、充分条件与必要条件··-3-§3简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词-5-专题2函数概念与基本初等函数Ⅰ·······-7-§1函数及其表示············-7-§2函数的单调性与最值·········-9-§3函数的奇偶性与周期性·······-11-§4二次函数与幂函数·········-13-§5指数与指数函数··········-15-§6对数与对数函数··········-17-§7函数的图像············-19-§8函数与方程············-22-§9实际问题的函数建模········-23-专题3导数及其应用············-25-§1导数的概念及运算·········-25-§2导数的应用············-27-2.1导数与函数的单调性······-27-2.2导数与函数的极值、最值····-28-§3定积分与微积分基本定理······-32-专题4三角函数、解三角形·········-33-§1任意角、弧度制及任意角的三角函数·-33-§2同角三角函数基本关系式及诱导公式·-35-§3三角函数的图像与性质·······-37-§4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用·-39-§5两角和与差的正弦、余弦正切公式··-41-§6简单的三角恒等变换········-43-§7正弦定理、余弦定理········-45-§8解三角形的综合运用········-47-专题5平面向量··············-49-§1平面向量的概念及线性运算·····-49-§2平面向量基本定理及坐标表示····-51-§3平面向量的数量积·········-53-§4平面向量应用举例·········-55-专题6数列················-57-§1数列的概念与简单表示法······-57-§2等差数列及其前n项和·······-59-§3等比数列及其前n项和·······-61-§4数列求和·············-63-专题7不等式···············-65-§1不等关系与不等式·········-65-§2一元二次不等式及其解法······-67-§3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题-69-§4基本不等式及其应用········-71-专题8立体几何与空间向量·········-73-§1简单几何体的结构、三视图和直观图·-73-§2空间图形的基本关系与公理·····-75-§3平行关系·············-77-§4垂直关系·············-79-§5简单几何体的面积与体积······-81-§6空间向量及其运算·········-83-§7立体几何中的向量方法·······-85-7.1证明平行与垂直········-85-7.2求空间角和距离········-87-专题9平面解析几何············-89-§1直线的方程············-89-§2两条直线的关系··········-91-§3圆的方程·············-93-§4直线与圆、圆与圆的位置关系····-94-§5椭圆···············-96-§6抛物线··············-98-§7双曲线··············-101-§8曲线与方程············-103-§9圆锥曲线的综合问题········-105-专题10计数原理·············-115-§1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-115-§2排列与组合············-116-§3二项式定理············-118-专题11统计与统计案例··········-120-§1随机抽样·············-120-§2统计图表、用样本估计总体·····-122-§3变量间的相关关系、统计案例····-124-专题12概率、随机变量及其分布······-126-§1随机事件的概率··········-126-§2古典概型·············-128-§3几何概型·············-130-§4离散型随机变量及其分布列·····-131-§5二项分布及其应用·········-133-§6离散型随机变量的均值与方差、正态分布-135-专题13推理与证明、算法、复数······-137-§1归纳与类比············-137-§2综合法与分析法、反证法······-139-§3数学归纳法············-141-§4算法与算法框图··········-143-§5复数···············-145-专题14系列4选讲············-147-§1几何证明选讲···········-147-1.1相似三角形的判定及有关性质··-147-1.2直线与圆的位置关系······-148-§2坐标系与参数方程·········-149-2.1坐标系············-149-2.2参数方程···········-150-§3不等式选讲············-151-3.1绝对值不等式·········-151-3.2不等式的证明·········-152--1-专题1集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念与运算1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋(或N*)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B=A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⊊B集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}4.集合关系与运算的常用结论(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个.(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.易错警示系列1.遗忘空集致误典例设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}.若B⊆A，则实数a的取值范围是________.易错分析集合B为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的实数根所构成的集合，由B⊆A，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B＝∅的情况，导致漏解.解析因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得Δ＝4a＋12－4a2－10，－2a＋1＝－4，a2－1＝0，解得a＝1；②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)0，解得a－1.综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.答案(－∞，－1]∪{1}温馨提醒(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)已知集合B，若已知A⊆B或A∩B＝∅，则考生很容易忽视A＝∅而造成漏解.-2-在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论.[方法与技巧]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[失误与防范]1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.-3-§2命题及其条件、充分条件与必要条件1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.思想与方法系列1.等价转化思想在充要条件中的应用典例(1)已知p：(a－1)2≤1，q：任意x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x2＋2x－30；条件q：xa，且┐q的一个充分不必要条件是┐p，则a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析(1)由(a－1)2≤1解得0≤a≤2，∴p：0≤a≤2.当a＝0时，ax2－ax＋1≥0对任意x∈R恒成立；当a≠0时，由a0，Δ＝a2－4a≤0得0a≤4，∴q：0≤a≤4.∴p是q成立的充分不必要条件.(2)由x2＋2x－30，得x－3或x1，由┐q的一个充分不必要条件是┐p，可知┐p是┐q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.∴{x|xa}⊊{x|x－3或x1}，∴a≥1.答案(1)A(2)A温馨提醒(1)本题用到的等价转化①将┐p，┐q之间的关系转化成p，q之间的关系.②将条件之间的关系转化成集合之间的关系.(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到.[方法与技巧]1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即利用A⇒B与┐B⇒┐A；B⇒A与┐A⇒┐B；A⇔B与┐B⇔┐A的等价关系，对于条件或结论-4-是否定形式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A⊊B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.[失误与防范]1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.-5-§3简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.2.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫