浙江大学小波变换及工程应用复习题

1小波分析复习题1、简述傅里叶变换、短时傅里叶变换和以及小波变换之间的异同。答：三者之间的异同见表傅里叶变换短时傅里叶变换小波变换定义式ftjxetxfFT2),()(ftjxetgtxfSTFT2)(),(),(deaXattxaWTjax)()(2)(),(),(*局部化能力时域、频域不兼顾具有时、频域局部化能力，但)(tg确定后，其局部化能力就固定了：)](),[()](),[(0000时宽：2，中心：0；频宽：2，中心：0；相比于STFT，小波变换的局部化能力是不固定的。]/)(,/)[()](),[(0000aaaa时窗宽：a2，中心：0；频窗宽：a/2，中心：a/0；唯一性FT唯一，反变换存在唯一不唯一，必须选择合理的小波基，反变换存在，但是有条件约束。品质因数非等Q带通滤波等Q带通滤波适用范围适合平稳信号处理适合窗内平稳信号处理适合非平稳小能量信号处理2、小波变换堪称“数学显微镜”，为什么？答：这主要因为小波变换具有以下特点：1）具有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以由粗及精地逐步观察信号；2）也可以看成用基本频率特性为)(的带通滤波器在不同尺度a下对信号作滤波；如果)(t的傅里叶变换是)(，则)(at的傅里叶变换为)(||aa，因此这组滤波器具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。a越大相当于频率越低。3）适当的选择基本小波，使)(t在时域上位有限支撑，)(在频域上也比较集中，便可以使WT在时、频两域都具有表征信号局部特征能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。4）如)(tx的CWT是),(aWTx，则)(tx的CWT是),(aWTx；0此定理表明：当信号)(tx作某一倍数伸缩时，其小波变换将在,a两轴上作同一比例的伸缩，但是不发生失真变形。基于上述特性，小波变换被誉为分析信号的数学显微镜。3、在小波变换的应用过程中，小波函数的选取是其应用成功与否的关键所在，请列举一些选择原则。答：选择原则列举如下：（也即需满足的一些条件和特性）1）容许条件2当dc2)(时才能由小波变换),(aWTx反演原函数)(tx，c便是对)(t提出的容许条件，若c，)(tx不存在，由容许条件可以推论出：能用作基本小波)(t的函数至少必须满足0)(0，也就是说)(必须具有带通性质，且基本小波)(t必须是正负交替的振荡波形，使得其平均值为零。2）能量的比例性小波变换幅度平方的积分和信号的能量成正比。3）正规性条件为了在频域上有较好局域性，要求),(aWTx随a的减小而迅速减小。这就要求)(t的前n阶原点矩为0，且n值越大越好。也就是要求0)(dtttp，np~1:，且n值越大越好，此要求的相应频域表示是：)(在0处有高阶零点，且阶次越高越好（一阶零点就是容许条件），即)()(01n，0)(00，n越大越好。4）重建核和重建核方程重建核方程说明小波变换的冗余性，即在a半平面上各点小波变换的值是相关的。重建核方程：000200),,,(),(),(aaKaWTadaaWTxx；重建核：)(),(1)()(1),,,(0000*00ttcdtttcaaKaaaa4、连续小波变换的计算机快速算法较常用的有基于调频Z变换和基于梅林变换两种，请用框图分别简述之，并说明分别适合于什么情况下应用。答：1）基于调频Z变换),(2ajanjeAeW运算说明：a．原始数据及初始化：原始数据是)(k（1~0Nk）和a值，初始化计算包括ajeA和anjeW2。22)(kWkh)(k)(kg22kkWA102)(2)()(NkkrWkgry22rW)2(amN12~2NNm对应于：1~0Nr3b．计算)(kg和)(kh：22)()(kkWAkkg，1~0Nk；22)(kWkh，1~1NNk。c．为了调用FFT程序把)(kg，)(kh改成L点（L是2的整幂，L2N-1）的数组)('kg，)('kh：1~1,01~0),()('NNkNkkgkg1~1),(~,01~0),()('LNLkkLhNLNkNkkhkh延长到L点并补零是为了使DFT的圆周卷积计算结果等于所需要的线性卷积。d．调用L点FFT程序：由)('kg得到1~0),(LmmG；由)('kh得到1~0),(LmmH；e．求1~0),()()(LmmGmGmY；f．将)(mY作反演FFT，且只取1~0Lr各点：)()(rymYIFFT，只取1~0Nrg．2),(222NrmryWamNramN2求得后，取共轭，与mNX2逐点对应相乘，再作N点IFFT并乘以a便得到所需要的1~0),(NkkaWTx，。2）基于梅林变换)(bex)(1M)()(*22MMa)]()([*21MMFTIFTFTIFT）（bbee),(aWTx4分别计算)(bex，）（bbee对b的IFT，得到)(1M和)(*2M，将两者相乘后再对)()(*21MM作FT，便可求得),(aWTx，即)]()([),(*21MMFTaaWTx适用范围：1）基于调频Z变换：当需要对尺度a作更细致的划分，此时a又不是2的整幂，它可能是分数或无理数，这种情况下按2的整幂离散求和计算WT是困难的，此时可以通过调频Z变换来快速进行这一计算，所需原始数据只是原始采样序列)(),(nnx，无需插补新值。2）基于梅林变换：在一段较短的时间内，通过比较xWT多个尺度下的表现来表征)(tx中持续时间较短的瞬态或信号某些奇异点，这主要由于梅林变换的算法，能一次算出某一固定时刻0下一组不同尺度的),(0nxqaWT，q为某一常数，n=0，1，2，……5、为什么说连续小波变换的信息是冗余的？为减小其信息的冗余度，可采用离散栅格的方法予以改善，但会带来信息失真的弊端，请问如何尽量避免这种失真？答:这是因为对于任何一个尺度因子和平移因子的小波，与原信号内积，所得到的小波系数都可以表示成在a，附近生成的小波投影后小波系数的线性组合，所以说连续小波变换的信息是冗余的。可以通过标架进行原函数x的重建：1）小波标架的定义：当由基本小波)(t经伸缩与位移引出的函数族],),2(2[2ZkZjkttjjjk）（具有下述性质时，便称],|[ZkZjtjk）（构成一个标架：jkjkxBxxA222,，且BA02）信号的重建，对于紧标架：jkjkxAx22,，则jkkjxkjjkkjtkjWTAtxAtx)(),(1)(,1)(,,,又因为在),(00kj处的WT为dtttxkjWTkjx)()(),(*0000将上一式代入下一式子，得：jkxjkkjjxjkjkxxkjWTkjkjKAdtttkjWTAdtttkjWTAkjWTkj),(),;(1)()(),(1)(])(),([1),(0,0**00000005式中，)(),()()(),;(0000*0,0ttdtttkjkjKkjjkkjjk当),(),;,(0000kkjjkjkjK时，信息没有冗余，此时各)(tjk互相正交。6、请利用函数空间剖分理论说明从第j-1级到j级分辨率的信号分解过程，并建立同小波变换之间的关系。答：1）函数空间逐级剖分：把空间做逐级二分解，产生一组逐级包含的子空间：……，110WVV，221WVV，……，11jjjWVV，j是从到的整数，j值越小空间越大，而且剖分是完整的。当j时，)(2RLVj，包含整个平方可积的实变函数空间。在逐级包含的条件下，上式等效于：zjjRLV)(2当j时，0jV，即空间剖分最终到空集为止。在逐级包含的条件下，上式等效于：zjjV0上述剖分方式显然保证了空间jV与空间jW正交，且各jW之间也正交：jjWV进一步要求剖分还具有以下两项特性：（1）位移不变性：函数的时移不改变其所属空间。即：jVtx)(，则jVktx仍)(（2）二尺度伸缩性：如jVtx)(，则1)2(jVtx，1)2(jVtx。2）对各子空间内的结构做进一步分析（1）子空间0V：设0V中有低通的平滑函数)(t，他的整数位移集合zkkt);(是0V中的正交归一基。称)(t为尺度函数，正交归一性可记为：)'()'(),(kkktkt或)'()(),('00kkttkk。式中)(0tk是)2(21)(2/kttjjjk在0j时的退化形式，也就是)(kt。0V中的任意函数必可表示为zktk);(0的线性组合，设)(0txP代表)(tx在0V上的6投影，则必有：kkktxtxP)()(0)0(0，由此可得)(),()(),(000)0(ttxttxPxkkk子空间1V：)'()(),('11kkttkk，kkktxtxP)()(1)1(1，那么)(),()(),(111)1(ttxttxPxkkk子空间1W：1W中任意函数可表示为zktk);(1的线性组合。设)(1txD代表)(tx在1W中的投影则必有：kkktdtx)()(1)1(，且权重)(),()(),(111)1(ttxttxDdkkk。3）以上讨论可以推广到1jV与jV，jW之间，即：zkkttjjjk);2(21)(2/必是jV中的正交归一基。zkkttjjjk);2(21)(2/必是jW中的正交归一基。也就是)'()(),()(),(''kkttttjkjkjkjk，且)(),(,)()(,1)1(,1)1(1ttxxtxtxPkjjkkkjjkj)(),(,)()(,)()(ttxxtxtxPkjjkkjkjkj)(),(,)()()()(ttxdtdtxDjkjkkjkjkj又)()()(1txDtxPtxPjjj)(txPj是)(tx在jV中的投影，也就是)(tx在分辨率j下的平滑逼近，）（jkx是其离散逼近。)(txDj是)(tx在jW中的投影，反映)(1txPj，)(txPj两平滑逼近间的细节差异。而且离散值)(jkd就是小波变换),(kjWTx。4）建立与小波变换之间的关系多分辨率分析核心是0V，0W空间的正交归一基zkktkt),(),(，只要他们是已知的，就可逐级进行，要找到这两租正交归一基，其关键是找到合适的尺度函数)(t和小波函数)(t。二尺度差分方程：710jjjVV，（正交归一基）zkkj,,1，kjzkkjh,100得，zkjkjkht)21(2)2(10。10jjjVW，kjzkkjh,110，于是)21(2)2(11khtjzkkj当j=1时，有zkkzkkkthtktht)(2)2()(2)2(10推得kkkkhh01010100,,7、列举双通道多采用滤波器的理想重建条件，请问为什么？答：双通道多采样滤波器组分解