上海市教育学会立项课题“数学的探究课题对高中学生影响的研

1上海市教育学会立项课题“数学的探究课题对高中学生影响的研究”的子课题之三高中数学的探究课题与可持续发展教育上海市吴淞中学马德清楼欣荣万旭华刘刚铭轩子明何君2摘要在高中数学教育中，应试教育已经根深蒂固，但学生厌学的倾向也日益突出，在高校中为了躲避数学等理学课程，宁可选择自己感兴趣的专业。说明目前的高中数学教育不能促使学生可持续发展。文中关注了这一问题，以高中数学教学为素材，对可持续发展教育与应试教育在几个主要方面的差异进行了深入地讨论：1.主动质疑与被动应答；2.涉猎宽泛与囿于考纲；3.面向实际与面向书本；4.自主探索与模仿背书；5.求异创新与墨守陈规；6.过程磨砺与仅看结果;7.社会使命与分数至上;8.人文修养与惟有知识。倡导把可持续发展教育由理念层面推进到具体学科的教学实践的层面中，提出了在高中学生中培养数学素养，使得学习数学知识不仅是为了高考，而是为了将来，数学课题研究是一个可行有效的教学模式。关键词高中数学，探究课题，应试教育，可持续发展教育。1.高中数学可持续发展教育的理念在每年的中学生国际奥林匹克数学竞赛中，我国代表队的成绩在近十余年中一直名列前茅。在国外一些大学的各国留学生中，我国学生的数理化基本素养也倍受称赞。但是在科学理论和科学技术的现代前沿领域，我国的创新人才还寥寥无几，原创成果历久无多。更值得忧虑的是，我国高中生的课余活动的选择中，很少学生选择数理化的理论与应用研究；高考选择自愿中，学生填报理工科的学生越来越少；在大学的基础课程中，学生感到困难的科目是：高等数学、普通物理。在欧美的多数发达国家中的教育困窘已在我国呈现：学生不愿苦思冥想，社会缺乏创新人才，虽然理工科在就业市场炙手可热，但学生情愿以此为终生职业越来越少。对于高中的数学教师，如何摒弃目前的应试教育的教学理念和方法，褒扬可持续发展教育的教学理念和方法，是当前的高中数学教育改革的方向，也是刻不容缓的当务之急。高中数学的可持续发展教育与应试教育，是否仅为炒作概念，没有实际意义？或者仅为理念阶段，没有可操作性？3下面就近10年以来指导学生开展研究性探索性学习的课堂教学和课余研讨的实践，通过一批的实际案例，对高中生开展研究课题与可持续发展教育的关系进行了深入的分析，并对高中数学的可持续发展教育与应试教育这两种教育原则在认识、过程、结果予以比较，谈点体会。没有前进方向的实践是盲目的实践；没有先进理念的实践是笨拙的实践；没有佐证的理论是无味的空谈！2.两种基本教育原则的比较2.1主动质疑与被动应答由于在应试教育的环境下，教师对考纲、题型、解法都具有一定经验。使学生应对高考，避开了历练，走了捷径。但可持续发展教育注重知识体系、数学素养、创新能力这些数学教育本质的的培养。提出问题是思维的开始，问题从何而来？一种是在媒体材料中给出或教师布置，一种是持有敏锐地眼光随时发现。例1：在高一的基本不等式教学时，采用被动应答式教学是让学生分别证明几个不等式：aaa12≥3，nnnaaa12≥3，nnnaaa12nnnbbb12≥9。采用主动质疑教学是：当证明了不等式aaa12≥3之后，引导学生提出问题，变量a还可以变成其它形式吗？变量还可以多些吗？这时学生可以拓展并证明出更为复杂的不等式：nnnaaaaaaaaa212222121)1()1)(1(≥n3nknnnknknnnnaaaaaaaaa212222121)1()1)(1(≥k3例2：指导学生徐祎翔的课题：“矩形行列式的研究”。当学习了矩阵和行列4式之后，学生很自然提出疑问，矩阵有矩形的也有方形的，为什么行列式只有方形的而没有矩形的？对于学生的质疑可以简单的回绝，能提出问题非常可贵。经过探索，把矩形行列式与方形行列式建立了联系，得出定理：mnA=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211+1221,222221,11212nnnnnnaaaaaaaaa+……[phone]nnjnjnjnjjjnjjjaaaaaaaaa+……+nmnnmnmnmmnmaaaaaaaaa21,2221,21121,1后来又推出了16个定理，给出了求平面n边形的面积、空间n面体的体积公式：定理：空间中有多边形P1P2P3…Pn，按顶点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z1)，…,Pn(xn，yn，zn)的顺序构成三角形的正向边界，多边形不垂直于XOY坐标平面，多边形所在平面的法向与Z轴正向夹角为，则多边形P1P2P3…Pn的面积：S=121121cos21yyyyxxxxnn定理：平面上有多面体P1P2P3…Pn，其顶点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z1)，…,Pn(xn，yn，zn)，按P1P2P3P4，P1P2P4P5，P1P2P5P6，…，P1P2Pn-1Pn的顺序分别构成右手系，则多面体P1P2P3…Pn的体积：V=2121542143212112154214321211215421432161zzzzzzzzzzzzzzyyyyyyyyyyyyyyxxxxxxxxxxxxxxnnnnnn并且运用了计算机的编写程序及其运算，显示出这种计算公式，程序简洁，输入方便，非常适合于计算机的运算。输入数据，编写程序如下：5004000050053003400440000040045005000040040000556056805870579059505B1004000055B2040004556B19440400950M3956B20400000505A0,0,4,0,0,0,0,5,0,0,5,3,0,0,3,4,0,0,4,4,0,0,0,0,0,4,0,0,4,5,0,0,5,0,0,0,0,4,0,0,4,0,0,0,0,5,5,6,0,5,6,8,0,5,8,7,0,5,7,9,0,5,9,5,0,5AMatrixFormM0;i1;DoBiA1,2,3,i,i1,i2;PrintB,i,,BiMatrixForm;MM1^iDetBi,i,20;PrintM,,16M;计算机运行后，输出的结果：…，…这项课题推广了《数学通报》中的论文“平面直角坐标系中凸n边形的面积”的结果。此论文获得2009年上海市青少年创新大赛一等奖，学生徐祎翔获全国明天6小小科学家三等奖。学生自己去发现问题，会激发更浓的兴趣，诱使不断地学习和探索。2.2涉猎宽泛与囿于考纲在应试教育的环境下，在教纲、考纲规定中，仅涉及初等数学的一部分内容，可作为历年的高考题目又仅为其中一部分类型，所以在高中阶段学生学到的初等数学是点状的、表象的、粗浅的。不论学生是到高校学习还是走进社会都需要学生的初等数学基础应是系统的、扎实的，缜密的。例3：在解答一道数学应用题，如何铺设污水管道和选择污水处理厂的位置时，归结为讨论Q=2222)(bxdax的最小值。如果在应试教育的原则下，只能是根据考纲，采用几何法求解。教师也只能说，根据所学的知识，还没有代数法求解。如果根据可持续发展教育，就应该不受考纲的局限，鼓励学生广泛涉猎。指导学生采用差分法：12QQ=)(12xx2212221222122212)()(2bxdbxddxxaxaxxx得出最小值点：baadx0。还可以引导学生学习一点微积分的知识，采用导数法。例4：指导学生刘雨溪的课题：“关于复Fibonacci数列的研究”。复数数列、生成函数都是在教纲中是没有列出的，只有当知识范围拓展了，才能对教纲内容有透彻的理解。在课题中，把高中的有关实数列的一些结论推广到复数列中，并得出一系列有趣的结果；讨论了复数列方程的求解方法；得出广义复数Fibonacci数列Zn的一些性质：定理：1nZ1nZ-2nZ=12211)1)()((nii，721nZ+2nZ=2222221111])[(55])[(55nnrirrir；定理：设{Fn}，{Ln}分别为Fibonacci数列和Lucas数列，实数a251，则：1)1)3sin3cos(nnnnnLnFa=)221(4)32(34)31(243232aaaaaaa；2))3sin3cos(1nFnLannnn=)21(22)32(2)31(432432aaaaaaaa定理：设{Fn}，{Ln}分别为Fibonacci数列和Lucas数列，实数a251，则：1)1)6sin6cos(nnnnnLnFa=)31(4)132(34)13(2432aaaaa；2))6sin6cos(1nFnLannnn=)31(24)341()31(443aaaaa。把stolz公式、发生函数引进到复数列中；又得出Fibonacci数列与Lucas数列统一表示成复变量的发生函数：1)(nnnnwiLF=211ww[(1+i)w+2iw2]；推出这两个数列的一些新的性质:)sincos(1nFnLannnn=3cos22cos2cos21]2cos)cos1(2sin)1(cos)31(2[3242223aaaaaaaaaaaa,nkkkmnkkkniLFiLF11lim=m251。由于Fibonacci数列在数学、工程学、自然界都有广泛的应用，所以广义复8数Fibonacci数列必将带来深刻的影响。通过此课题的研究，对数列、极限、生成函数等知识得到深刻的了解，并获得2010年上海市青少年创新大赛三等奖。教学过程中的涉及的知识范围可以体现究竟是坚持那种教育原则。学生对知识是浅尝辄止还是乐此不疲，也体现了是为了高考而学还是为了终生而学。2.3面向实际与面向书本数学科学来自于客观实际，也为数学的发展提供着不竭的源泉。学生认识了数学知识的实际原型，就产生了兴趣；熟悉了实际原型与数学模型的转化，就会学以致用；知识与现实联系越紧密，学生就越容易跨越学校与社会的界限，在实践中有所作为。例5：当教学涉及到等比数列的通项、n项和、极限等概念及其运算时，如果与现实问题联系起来，学生就激起浓厚的兴趣。采用分期付款模型，可以设分期付款购买售价为a元的商品，分n次经过m个月还清贷款，每次还款x元，月利率为p，则每次还款x为：1)1(1)1()1(mnmmpppax因为当a，m，p一定时，x为关于n的减函数，当n越大时，x越小。所以在采用分期付款方式购买商品时，在借款额、还款期限、利率相同的情况下，如果仅考虑选每次还款x，得选择付款期次比较多的分期付款方式较合算。我们再进一步想，在现实生活中，银行的利率可以按星期计算，按天计算，按小时计算。那么，我们今天可以提出一系列的有待探讨的问题：如果可以按星期，按天，按小时，甚至算分钟分期付款，那么，是否每期的付款额会无限的小下去呢？分期时间的无限的小下去有何实际意义和理论意义？实践中可行性如何？付款总额为：9npppanxnmmm11)1(1)1()1(当a，m，p一定时，付款总额nx是否为关于n的减函数？当n趋于无穷大时，付款总额nx是否存在一个有限数值？指导学生课后自主探索，鼓励学生创新发现。提示可以用xpyx1)1(的导函数，或用)1(x=1+x+2!2)1(x+…的展开式来讨论付款总额的单调性。可以用xaxx1lim0来确定当n趋于无穷大时，付款总额是否存在一个有限数值。其实上述的经济问题的数学分析，正是金融机构对资本增值问题的基本数学原理。例6：指导学生孙悠悠的课题：“关于汽车转弯轨迹的研究及实际应用”。当发现了这样一个现实问题：上海人口高度密集，停车场这一城市的基础实施却少得可怜。几乎没有立体停车场