陀螺仪原理2运动方程

二自由度陀螺仪运动方程：初步分析从定性到定量描述：需要引入坐标系外框架、内框架和转子的自由度坐标系的选取：固定（基座）坐标系XYZ外框架坐标系x1y1z1内框架坐标系xyz转子坐标系x’y’z’运动方程的任务：描述当沿着内外框架轴施加力矩时，陀螺框架角α、β的变化规律建立运动方程的方法：动量矩定理+苛氏转动坐标定理二自由度陀螺仪运动方程：矢量表示转子相对惯性空间的角速度：需要合成内框架坐标系相对惯性空间的角速度kjizyx转子相对内框架的角速度ks·转子的绝对角速度kjizyx)('转子的动量矩kJjJiJHzzyyxx)(二自由度陀螺仪运动方程：推导根据动量矩定理和苛氏定理MHdtHddtdH~其中kdtdJjdtdJidtdJdtHdxzyyxx)(~)(zzyyxxzyxJJJkjiHiJJzyyyzz])([jJJxzzzxx])([kJJyxxyxy][二自由度陀螺仪运动方程：合并简化对每个坐标分量，分别写出方程xzyyyzzxxMJJdtdJ)(yzxxxzzyyMJJdtdJ)(zxyxyxyzzMJJdtdJ)(以上称变态欧拉动力学方程实际的陀螺中，一般赤道转动惯量Jx=Jy，由第三式可得zzzMdtdJ)(陀螺马达稳态工作时，驱动力矩和摩擦力矩抵消，因此常量)(zzJ对前两式，ω的各分量远小于dγ/dt，忽略高阶小量，得到简化方程yxyyxyxxMHdtdJMHdtdJ关于框架角速度和外加力矩的方向二自由度陀螺仪运动方程：角速度投影角速度的投影内框架坐标系xyz的ω等于两个欧拉角速度的矢量和kjizyx根据投影sincoszyx代入简化方程，得到yyxxMHdtdJMHdtdJcos)cos(求导式展开yyxxMHJMHJcos)·sincos(忽略高阶小量，得到yyxxMHJMHJcoscos二自由度陀螺仪运动方程：力矩投影忽略高阶小量，得到yyxxMHJMHJcoscos力矩的投影：Mx1和Mx之间cos1xxMMcos/1xxMM代入前式，得到yyxxMHJMHJcoscoscos1实际β角很小，上式简化成yyxxMHJMHJ1称为陀螺仪的技术方程。技术方程的物理意义（惯性力矩和进动力矩）陀螺仪转子轴运动的描述：轨迹平面转子轴运动轨迹（位置）的描述转子轴运动过程中，在空间扫描出一个锥面转子轴在中心球面上的交点划出的一段曲线将球面展开，得到广义的坐标平面两个框架角为描述转子轴位置或运动的广义坐标（类似地球的经纬度）二自由度陀螺仪系统模型：拉氏变换二自由度陀螺仪的技术方程yyxxMHJMHJ1拉氏变换)()()()()()(000210002sMssHsssJsMssHsssJyyxx整理000200012)()()()()()(HsJsMsHsssJHsJsMsHsssJyyyxxx当初始条件都为零，得到二自由度陀螺仪系统模型：系统方块图拉氏变换方程)()()()()()(212sMsHsssJsMsHsssJyyxx改写方程，画出系统方块图)()(1)()(1ssJsHssMxx)()(1)()(ssJsHssMyy二自由度陀螺仪系统模型：只考虑Mx1系统方块图分析每个力矩都同时引起陀螺仪的两种运动陀螺力矩耦合内外框架的运动单个外加力矩如何分别影响陀螺内外框架的运动？令My=0，只考虑Mx1对外框架角α的影响：对内框架角β的影响：二自由度陀螺仪系统模型：稳态分析反馈系统，如果前向通道有积分环节，则其稳态特征一般主要由反馈通道决定HssJHssJsJsMsyxxx22211111)()(HssJHssJsJHssJsMsyxyxx2222111111)()(稳态响应，令上式中s→0，则21HJMyxHMx11等效弹簧效应进动效应二自由度陀螺仪系统模型：传递函数拉氏变换方程)()()()()()(212sMsHsssJsMsHsssJyyxx求解两个框架角α、β，得到)()()()()()()()(1222222122sMHsJJsHsMHsJJJssMHsJJsHsMHsJJJsxyxyyxxyyxxyxy由此可以得到从Mx1、My分别到α和β的四个传递函数改写分母项)()(2022222sJJJJHsJJHsJJyxyxyxyx固有振荡频率二自由度陀螺仪脉冲响应：初始分析冲击力矩的数学模型：脉冲函数，数值极大，时间极短，对时间的积分是一个有限值陀螺技术方程yyxxMHJMHJ1设力矩作用前，初始条件均为零冲击力矩开始作用后，惯性力矩极大，陀螺力矩可忽略，得到yyxxMJMJ1t1时刻两个框架获得的角速度xtxJdtM1011ytyJdtM101t1时刻两个框架转过的角度0101tdt0101tdtt1后，力矩消失，技术方程变为00HJHJyx基于新的初始条件，做拉氏变换二自由度陀螺仪脉冲响应：拉氏变换考虑t1时刻的新初始条件，进行拉氏变换1212)()()()(yyxxJsHsssJJsHsssJ求解α(s)和β(s)，得到部分分式展开，并令ω02=H2/(Jx·Jy)，得到)()()()(221221221221HsJJsHJHsJJJJsHsJJsHJHsJJJJsyxxyxyxyxyyxxy)/(//)/(//221221221221yxyyxyxxyxJJHssJHJJHsJJHssJHJJHs二自由度陀螺仪脉冲响应：反变换20200120211)()(ssHsJHsJsyy20200120211)()(ssHsJHsJsxx求反拉氏变换，得ttHJHJtyy001011sincos)(ttHJHJtxx001011sincos)(为了简化分析，只考虑沿着外框架轴的力矩Mx1的影响二自由度陀螺仪脉冲响应：只考虑Mx1tt001sin)(tHJHJtxx011cos)(设Jx=Jy=Je，第二式可以写成tt00101cos)(可见，力矩Mx1引起转子轴同时绕内外两个框架作等幅振荡，相位相差90度。消去时间变量，得到轨迹方程2012012轨迹是圆，半径…圆心…频率…二自由度陀螺仪脉冲响应：计算例子例子：设Jx=Jy=Je=1.38克·厘米·秒2，H=5160克·厘米·秒，Mx1=36200克·厘米，t1=1×10-5秒。（注：克=克重，相当于每克物体的重量）ssradJdttMxxt/deg15/262.038.1362.0)(1101HzsradJHe595/374038.151600章动的幅度（半径）23.0107501rad角分章动的特点：高频、微幅二自由度陀螺仪阶跃响应：输入输出如果陀螺仪受到的力矩为常值，可以用阶跃函数表示：sMsMtMtMsMsMtMtMyyyyxxxx00101101)()(1)()()(1)(陀螺系统的初始条件都为零时，频域输出响应为sMHsJJsHsMHsJJJssMHsJJsHsMHsJJJsxyxyyxxyyxxyxy10220220221022)()()()(反拉氏变换，令ω02=H/(Jx·Jy)得时域响应：tHMtJMtHMJMttHMtJMtHMJMtxyyxyyyxxyxx00100200102000000201002010sincos)(sincos)(包含稳态解、暂态解简化分析，只考虑My的影响，令Mx1=0，并设Jx=Jy=Je)cos1()(sin)(0020020tMHJttMHJtHMtyeyey稳态响应和动态响应分析二自由度陀螺仪阶跃响应：时域响应二自由度陀螺仪阶跃响应：轨迹对前式移项后两边平方相加，得到转子轴的轨迹方程22022020HMJHMJtHMyeyey旋轮线：圆周运动（章动）和平移运动（进动）的合成。解释：圆周运动线速度：HMJHHMJyeye020圆心移动速度：HMy0两种运动合成的结果：车轮无摩擦滚动——旋轮线其中进动起主导作用二自由度陀螺仪阶跃响应：计算例子例题：My=1克·厘米；H=10000克·厘米·秒；Jx=Jy=Je=4克·厘米·秒2；常值干扰力矩作用时间t=60秒；计算：陀螺漂移率hrradHMy/7.20/345.0sec/100001度分度漂移的角度度分分度0.345)(1)/345.0(tHMy章动振幅角秒3221036.11000014radHMJye章动频率HzradJHe397sec/2500410000常值干扰力矩的产生原因及影响二自由度陀螺仪正弦响应：输入输出如果作用在陀螺仪上的外加力矩方向不断改变，大致可以用简谐函数描述tMtMaoxxsin)(1221)(aaoxxsMsMtMtMoyysin)(22)(sMsMoyy初始条件都为零时，陀螺频域输出响应为))(())(()())(())(()(2222222222222222ayxaoxyxoyyyxoyayxaoxysHsJJsHMsHsJJMJssHsJJsHMsHsJJMJs做部分分式展开以及反拉氏变换，并令ω02=H2/(Jx·Jy)，得二自由度陀螺仪正弦响应：时域响应tJMtJMtaaxoxaxaoxsin)(sin)()(22002200tHMtHMHMoyoyoycos)(cos)(220200220tJMtJMtyoyyoysin)(sin)()(22002200①、④：章动项②、⑤：强迫简谐振动项③：常值项tHMtHMHMaaaoxaaoxaoxcos)(cos)(220200220二自由度陀螺仪正弦响应：轨迹只考虑Mx1，设ωa《ω０，Jx=Jy=Je，则上式可以简化成)cos1()(sin)(0tHMttHMtaaoxaox可见Mx1使转子轴同时绕内外框架轴做受迫振荡。消去时间变量，得到轨迹方程：1222