高数一知识点

1第一章~~第三章一、极限数列极限limnnx函数极限lim()xfx，lim()xfx，lim()xfx0lim()xxfx，0lim()xxfx，0lim()xxfx求极限（主要方法）：（１）100sin1lim1,lim(1),lim(1)xxxxxxexexx（２）等价无穷小替换（P76）。当()0x时，2()()sin()~(),tan()~(),arcsin()~(),arctan()~(),11cos()~(),ln(1())~(),1~(),21~()ln(0),(1())~()(0)xxxxxxxxxxxxxxexaxaaxx代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。（3）洛必达法则（000,,0,,0,1,0），只有0,0可以直接用罗比达法则。幂指函数求极限：()lim()ln()lim()vxvxuxuxe；或，令()()vxyux，两边取对数ln()ln()yvxux，若lim()ln()vxuxa，则()lim()vxauxe。结合变上限函数求极限。二、连续00lim()()xxfxfx左、右连续0000lim()(),lim()()xxxxfxfxfxfx函数连续函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。三、导数0000000()()()()'()limlimxxxfxfxfxxfxfxxxx左导数0000000()()()()'()limlimxxxfxfxfxxfxfxxxx2右导数0000000()()()()'()limlimxxxfxfxfxxfxfxxxx微分()'yAxzdyAdxydx可导连续可导可微可导既左可导又右可导求导数：（１）复合函数链式法则[]()'[]'()dydyduyfuugxfugxdxdudx[()]''[()]'()'[()]([()])'yfgxyfgxgxfgxfgx（２）隐函数求导法则两边对x求导，注意y、y是x的函数。（3）参数方程求导'()()()/'()dydydxtxtytdxdtdtt22'()()()'()'()dtddydydttdtdxdxdxtdt四、导数的应用（１）罗尔定理和拉格朗日定理（证明题）（２）单调性（导数符号），极值（第一充分条件和第二充分条件），最值。（3）凹凸性（二阶导数符号），拐点（曲线上的点，二维坐标，曲线在该点两侧有不同凹凸性）。第四章不定积分原函数(())()Fxfx不定积分()()fxdxFxC基本性质[()]()dfxdxfxdx或[()]()dfxdxfxdx()()FxdxFxc或()().dFxFxC[()()dxdxd]()()fxgxfxgxx(分项积分)d(()d)kfxxkfxx基本积分公式(1)dkxkxC;(2)11  (1d)1xxxC3(3)1ln||dxxCx(4)dxxxeeC(5)xlndxxaaCa(6)dcossinxxxC(7)dsincosxxxC(8)2sectadnxxxC(9)2dcsccotxxxC(10)dsxectansecxxxC(11)dxcsccotcscxxxC(12)2arcsin1dxxCx(13)2arctan1dxxCx除了上述基本公式之外，还有几个常用积分公式1.tanln|cos|;xdxxC2.cotln|sin|;xdxxC3.secln|sectan|;xdxxxC4.cscln|csccot|;xdxxxC5.2211arctan;xdxCaxaa6.22arcsin;dxxCaax7.2211ln;2xadxCxaaxa8.22222arcsin;22axxaxdxaxCa9.2222ln||.dxxxaCxa求不定积分的方法1．直接积分法：恒等变形，利用不定积分的性质，直接使用基本积分公式。2．换元法：第一类换元法（凑微分法）(())()()()(()d).fxxxfuduFuCFxC第二类换元法（变量代换法）()(())()()[()].ddfxxftttFtCFxC（注意回代）换元的思想：()(())()()()(())()()()(()).ddxtfttdttxfxxftttgtdtFtCFxC主要有幂代换、三角代换、倒代换3．分部积分法uvdxudvuvvduuvuvdxv的优先选取顺序为：指数函数；三角函数；幂函数4第五章定积分一、概念1.定义011()lim(),max{}nbiiiainifxdxfxx2.性质：设xf、xg在ba,区间上可积，则定积分有以下的性质.(1).abdxba；(2).bababadxxgndxxfmdxxgnxmf)()(；(3).bccabadxxfdxxfdxxf)()()(；(4).若在,ab上，0xf，则0)(badxxf；推论1.若在,ab上，fxgx，则()()bbaafxdxgxdx推论2.babadxxfdxxf|)(||)(|（ab）(5).若函数xf在区间ba,上可积，且Mxfm，则)()()(abMdxxfabmba(6).（定积分中值定理）设xf在区间ba,上连续，则存在ba,，使abfdxxfba)(．3.积分上限函数()xaftdt及其性质(1)．xfdttfxa))((，或xfdttfdxdxa)(；(2)．如果)(0)(xdttfx，则))(()(0xdttfxxxf.(3).如果()()()xxxftdt,则()()(())xxxftdt'fxxfxx.4.广义积分(1).无穷限积分afxdxlimtatfxdx收敛（极限存在）发散（极限不存在）．5bdxxflimbttfxdx收敛（极限存在）发散（极限不存在）．dxxf收敛的充分必要条件是反常积分0fxdx、0fxdx同时收敛，并且在收敛时，有dxxf0fxdx0fxdx．(2).瑕积分a为瑕点limbbaatafxdxfxdx收敛（极限存在）发散（极限不存在）b为瑕点limbbaatbfxdxfxdx收敛（极限存在）发散（极限不存在）c为瑕点则badxxf收敛cadxxf与bcdxxf均收敛，并且在收敛时，有badxxfcadxxfbcdxxf二、计算（一）定积分的计算1、微积分基本公式：设函数xf在区间ba,上连续，且xfxF，则aFbFdxxfba)(，牛顿-莱布尼兹（N-L）公式2、换元法：设函数xf在区间ba,上连续，函数tx满足：①在区间,上可导，且t连续；②a，b，当[,]t时，bax,，则dtttfdxxfba)()(3、分部积分法：|bbbaaauvdxuvuvdx，或|bbbaaaudvuvvdu．4、偶倍奇零：设函数xf在区间aa,上连续，则00()2()aaafxfxfxdxfxdxfxfx5、2200cossinxdxxdxnn122!)!12(!)!2(2!)!2(!)!12(knknkkkk．66、分段函数的定积分。（二）与积分上限函数相关的计算（三）广义积分的计算（依据定义先求原函数，再求极限）三、定积分的应用（一）几何应用1、平面图形的面积（1）直角坐标ba(),|(dd)()|dxbbaaAfxxAfxgxx（上曲线－下曲线），或(),|()()dy|dydydddcccAyAyy（右曲线－左曲线）（2）参数方程若()()xtyt与,xaxb及x轴所围成的面积()()Attdt，,分别是曲边的起点的横坐标与终点的横坐标的参数值。（3）极坐标由曲线(),,,()rr所围的曲边扇形的面积21[()].2Ard2、旋转体的体积（1）直角坐标:由曲线(),,,()yfxxaxbab与x轴所围曲边梯形绕x轴旋转一周的旋转体的体积22()().bbaaVfxdxfxdx由曲线(),,,()xyycydcd与y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周的旋转体的体积22()().ddccVydyydy（2）参数方程由()()xtyt与,xaxb及x轴所围成的图形绕x由旋转一周的旋转体的体积2()()Vttdt3、平面曲线的弧长（积分限从小到大）（1）直角坐标21[()]basfxdx（2）参数方程22[()][()]sxtytdt（3）极坐标22[()][()]srrd（二）物理应用（步骤：建立坐标系，选择积分变量，求出功的微元或压力微元，求定积分）7xOaaxy2aOxyOaaaθOxyaaa阿基米德螺线心形线)cos1(ar双纽线2cos22ar摆线)cos1()sin(ayax第六章微分方程一、内容小结：（一）、概念：微分方程；阶；通解；特解；初始条件；初值问题；线性相关；线性无关（二）、解的结构齐次线性''()'()0(*)yPxyQxy非齐次线性''()'()()(**)yPxyQxyfx1、12,yy是（*）的解，则1122yCyCy也是(*)的解；若12,yy线性无关，则1122yCyCy为（*）的通解）2、12*,*yy是（**）的解，则12**yy是对应齐次线性方程的解Y是（*）的通解，*y是（**）的解，则*Yy是（**）的通解(三)、解方程：判别类型，确定解法。一阶，二阶。二、一阶微分方程求解81、可分离变量方程'()()yfxgy或()()gydyfxdx或1122()()()()0MxNydyMxNydx解法：先分离变量,两边再同时积分2、齐次方程'()yyfx解法：令,yux则''yuxu或者()dxxfdyy解法：令,xuydxduudydy3、一阶线性微分方程齐次线性()'()0()PxdxyPxyyCe非齐次线性()()'()()((()))PxdxPxdxyPxyQxyeQxedxC三、二阶微分方程求解(一)、可降阶情形1、''()yfx2、不显含y的二阶方程''(,')yfxy解法：',''','(,)ypyppfxp令则原方程化为3、不显含x的二阶方程''(,')yfyy解法：','',(,)dpdpypyppfypdydy令