牛吃草问题ppt

•课前引入：1、“一筐草可供2头牛吃6天，照这样计算，可供3头牛吃几天？”这道题太简单了，大家都能很快求出来2×6÷3＝4（天）•如果我们把“一筐草”换成“一片均匀生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场。牛吃草问题的历史起源•英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起•在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。例1有一块均匀生长的牧场，可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：可供几头牛吃4天？10头牛吃20天15头牛吃10天?头牛吃4天原来的草原来的草原来的草20天新长的草10天新长的草4天新长的草•设1头牛一天吃的草为1份。那么，•牧场每天新增的草量：（10×20－15×10）÷（20-10）＝5（份）•牧场原有的草量：200-20×5＝100（份）或150-10-5＝100（份）•牛的头数：（100+4×5）＝30（头）同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：设定1头牛1天吃草量为“1”；•1）草的生长速度＝总草量差÷时间差；•2）原有草量＝总草－新增的•3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）•4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度这四个公式是解决消长问题的基础。“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题例2上海世博园在每天开园就有很多游客前来排除，假设每分钟来的游客人数一样多，5号门从开始检票到不用排队入园，同时开放20个检票口需要200分钟，同时开30个检票口需100分钟，如果同时打开26个检票口，需要多长时间呢？这和“牛吃草”有什么关系呀？•把“每分钟来的游客人数”看作“草的生长速度”•把“开园前的排除人数”看作“草地上原有的草量”分析：我们可以作一个类比：假设每分钟每个检票口进的人数为1份20×200=原有等待的人数+200分钟新增的人数30×100=原有等待的人数+100分钟新增的人数每分钟新增的人数=（20×200-30×1000）÷（200-1000）=10（份）原有等待的人数=20×200-10×200=2000（份）同时打开26个检票口需2000÷（26-10）＝125（分钟）检票问题：所需时间=原有人数÷（每分钟可进入人数-每分钟新增人数）例3自动扶梯匀速上行，性急的晶晶和豆豆要从自动扶梯上楼，豆豆每秒钟走3级梯级，用了25秒钟到达楼上，晶晶每秒钟走2级梯级，用了30秒钟到达楼上，如果只靠自动扶梯上楼，需要多长时间到达楼上？我们知道还是要找不变量，这里的“自动扶梯的总级数”和“自动扶梯每秒钟的上升的梯级数”是不变的从图上可以看出：豆豆25秒走的级数比晶晶30秒走的梯级数多，多出来的部分就是自动扶梯（30－25）秒上行的梯级数，那么自动扶梯每秒上行梯级数=(3×25－2×30)÷(30－25)=3(级)自动扶梯的总级数=3×25＋3×25＝150（级）晶晶30秒走的梯级数自动扶梯30秒上行的梯级数豆豆25秒走的梯级数自动扶梯25秒上行的梯级数自动扶梯总梯级数或：2×30＋3×30＝150（级）只靠自动扶梯上楼时间=150÷3＝50（秒）我们知道还是要找不变量，这里的“要追骑车的路程即路程差”和“骑车人每分钟走的路程”是不变的把“要追骑车人的路程即路程差”看成“原有草量”，“骑车人每分钟走的路程”看成“新生长的草量”练习有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个速度不变的骑车人。这三辆汽车分别用了3分钟，5分钟，8分钟分别追上骑车人。已知快速车每小时54千米，中速车每小时39.6千米，那么慢车的车速是多少？从图上可以看出：中速车追上骑车人比快速车追上骑车人所走的路程多，多出来的部分就是骑车人（5-3）分钟所骑的路程，那么骑车人的速度=(660×5－900×3)÷(5－3)=300(米/分)路程差=900×3－300×3＝1800（米）或：660×5－300×5＝1800（米）慢车的速度=(1800+300×8)÷8＝525（米/分）5分钟所骑路程路程差8分钟所骑路程路程差54千米/小时=900米/分39.6千米/小时=660米/分?千米/小时＝31.5（千米/小时）3分钟所骑路程路程差练习有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？前面解决的都是同一块草地上的“牛吃草”问题，现在是3块不同的草地，能不能试着把它们转换成在同一块草地上吃草呢？首先，我们把求出5，6，8的最小公倍数是120，也就是我们能不能把所有的草地都变成120公顷呢【5，6，8】=1205公顷可供11头牛吃10天120÷5=24，那么120公顷可供11×24=264头吃10天6公顷可供12头牛吃14天120÷6=20，那么120公顷可供12×20=240头吃14天8公顷可供19头牛吃？天120÷8=15，那么120公顷可供19×15=285头吃？天原题可变为：一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？•设1头牛一天吃的草为1份。那么，•牧场每天新增的草量：（240×14－264×10）÷（14-10）＝180（份）•牧场原有的草量：240×14-180×14＝840（份）或264×10-180×10＝840（份）•可供285头牛吃：1×285-180＝105（份）840÷105＝8（天）“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题设定1头牛1天吃草量为“1”；•1）草的生长速度＝总草量差÷时间差；•3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）•4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度这四个公式是解决消长问题的基础。•2）原有草量＝总草－新增的同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：•谢谢大家！