寻找相似三角形的4种技巧与方法

寻找相似三角形的基本技巧与方法一：直接利用“左看、右看、上看、下看”即“三点定型”法例1，冀教版数学课本90页C组第一题：已知：∠ACB=900，CD⊥AB。求证：AC2=AD•AB分析：要证AC2=AD•AB，可先证ACABADAC=，这时看等号的左边A、C、D三点可确定一个三角形，而等号右边A、C、B三点也可确定一个三角形，即证△ACD∽△ABC。都看上面的分子为A、B、C及都看下面的分母为A、C、D也可确定去证△ACD∽△ABC。例2，已知：等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。求证：BP•PC=BM•CN分析：要证BP•PC=BM•CN，只需证PCCNBMBP=看等号的左边B、P、M和等号右边C、N、P可确定证△PBM∽△NCP。二：当不能直接用“左看、右看、上看、下看”“三点定形”时，如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。例1，已知；AD平分∠BAC，EF垂直平分AD与BC的延长线交于F。求证：DF2=BF•CF分析：由已知可得DF=AF，直接证DF2=BF•CF找不出相似三角形，可改证AF2=BF•CF，即证AFCFBFAF=，这时用“左看、右看”或“上看、下看”定出△ABF∽△CAF例2，已知；在Rt△ABC中，∠A=900，四边形DEFG为正方形。求证：EF2=BE•FC分析：要证EF2=BE•FC，可证EFFCBEEF=，这时我们不论是“左看、右看”还是“上看、下看”B、E、F、C都在同一直线上，不能确定两个三角形。但在图形中有相等的线段DE=EF=FG，这时用相等的线段去替换即证FGFCBEDE=即可。再用“左看、右看”的方法确定证△BDE∽△GCF从而完成证明。三：既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量来转化搭桥，充分体现了转化的思想在数学中的应用。例1，已知：梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于O点，作BE//CD,交CA的延长线于点E.求证：OC2=OA.OE分析：要证OC2=OA.OE,这时我们不论是“左看、右看”还是“上看、下看”都发现O,C,A,E在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，怎么办呢？这时，我们可以利用转化的数学思想，先证ODOBOAOC=，用“上看、下看”定出△OBC∽△ODC,然后再证OCOEODOB=,用同样的方法确定证△OBE∽△ODC相似即可。例2.已知：如图3，AC是ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于F，交CD于E．分析：由B、E、F、G四点共线可知，本题既不能直接应用平行截线定理或三点定形法，又找不到与比例式中线段相等的线段进行等量代换代换是解决本题的关键．证明：略．例3，已知：BD、CE是△ABC的两个高，DG⊥BC，与CE交于F，GD的延长线与BA的延长线交于H。求证：GD2=GF•GH分析：要证GD2=GF•GH,这时我们发现G、D、E、F在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，这时，我们可以利用直角三角形斜边上的高分的两个三角形和原三角形相似得出GD2=BG•CG，从而把原题转化为证BG•CG=GF•GH，再用“左看、右看、上看、下看”的方法确定证△BGH∽△FGC相似即可。四：辅助平行线法：利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线分线段成比例定理和它的推论来实现．例1.已知：如图4，在△ABC中，D是AC上一点，延长CB到E，使BE=AD，ED交AB于F．分析：观察比例式的右边三点A、B、C可构成△ABC，而左边的三点D、E、F不能构成三角形，因此不能直接利用相似三角形获证．