2014届高三数学(文)一轮总复习数系的扩充与复数的引入

基础自主梳理考向互动探究第节数系的扩充与复数的引入最新考纲1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.会进行复数代数形式的四则运算.4.了解复数代数形式的加减法的几何意义.1.已知复数z满足(z-2)i=1+i,那么复数z的虚部为(B)(A)1(B)-1(C)i(D)-i解析:因为(z-2)i=1+i,所以z-2=ii1,所以z=2+1)1)(1(ii=3-i,所以z的虚部为-1,故选B.2.(2012年高考广东卷)设i为虚数单位,则复数ii65等于(D)(A)6+5i(B)6-5i(C)-6+5i(D)-6-5i解析:ii65=ii6i）i-（5=1-6i5=-6-5i.故选D.3.若a、b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则(C)(A)a=1,b=1(B)a=-1,b=1(C)a=1,b=-1(D)a=-1,b=-1解析:由(a+i)i=b+i可得-1+ai=b+i.由复数相等可得.11b，a故选C.4.在复平面内,复数i-1i2对应的点的坐标为.解析:由于i-1i2=i)i)(1-(1i)2i(1=-1+i,所以在复平面内对应的点的坐标为(-1,1).答案:(-1,1)1.复数的有关概念(1)复数的定义形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b.(2)复数的分类(3)复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a、b、c、d∈R).(4)共轭复数a+bi与c+di共轭⇔a=c且b=-d(a、b、c、d∈R).(5)复数的模向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=22ba(r≥0,a、b∈R).2.复数的几何意义(1)复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.(2)实轴、虚轴在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数.(3)复数的几何表示复数z=a+bi对应一一复平面内的点Z(a,b)对应一一平面向量OZ.3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;③乘法:z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法:21zz=iidaba=)i)(i()i)(i(dcdcdcba=22dcbdac+22dcadbci(c+di≠0).(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1、z2、z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).质疑探究1:z1、z2为复数,z1-z20,那么z1z2,这个命题是真命题吗?提示:假命题.例如:z1=1+i,z2=-2+i,z1-z2=30.但z1z2无意义,因为虚数无大小概念.质疑探究2:若z1、z2∈R,21z+22z=0,则z1=z2=0,此命题对z1、z2∈C还成立吗?提示:不一定成立.比如z1=1,z2=i满足21z+22z=0.但z1≠0,z2≠0.复数的基本概念【例1】(2012年高考新课标全国卷)下面是关于复数z=i12的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1.其中的真命题为()(A)p2,p3(B)p1,p2(C)p2,p4(D)p3,p4思维导引:根据给出的形式对复数进行运算,转化成z=a+bi(a、b∈R)的形式再进行分析各个命题是否正确.解析:由题意得z=i12=i)-i)(-1(-1)i1(2=-1-i.所以|z|=2,故p1为假命题.z2=(-1-i)2=2i,故p2为真命题.z=-1+i,故p3为假命题.z的虚部为-1,故p4为真命题.故选C.有关复数的概念问题,一般涉及到复数的实部、虚部、模、虚数、纯虚数、实数、共轭复数等,解决时,一定先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定其实部和虚部.变式训练11:(2012年高考北京卷)设a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:a=0时,a+bi不一定是纯虚数,但a+bi为纯虚数时,a=0一定成立,故“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件.故选B.变式训练12:(2012福建厦门模拟)已知a∈R,若i-1i1a为纯虚数,则a的值等于.解析:i-1i1a=)i1)(i1()i1)(i1(a=21a+21ai.由题可知21a=0,且21a≠0.故a=1.答案:1复数代数形式的运算【例2】(2012年高考安徽卷)复数z满足(z-i)(2-i)=5,则z等于()(A)-2-2i(B)-2+2i(C)2-2i(D)2+2i解析:由题(z-i)(2-i)=5,可得z-i=i25=i)i)(2-(2)i2(5=2+i,故z=2+2i.故选D.(1)复数代数形式的运算类似于多项式的四则运算,含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.但需注意把i的幂写成最简形式.(2)在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度.①(1±i)2=±2i;②i-1i1=i;③i1i1=-i;④-b+ai=i(a+bi).变式训练2-1:(2012佛山一模)已知i是虚数单位,m、n∈R,且m+i=1+ni,则iinmnm等于()(A)-1(B)1(C)-i(D)i解析:由m+i=1+ni可得m=n=1,则iinmnm=i1i1=2)1(2i=i.故选D.变式训练22:(2012年高考福建卷)若复数z满足zi=1-i,则z等于()(A)-1-i(B)1-i(C)-1+i(D)1+i解析:由题意得z=ii1=1-i)i1(=-1-i.故选A.复数的几何意义【例3】(2012江西盟校二联)已知复数z=i11,则z·i在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限思维导引:首先需要把z转化成a+bi(a、b∈R)的形式,然后求出z,并将z·i化简成为a+bi的形式,再判断点所在的象限.解析:由题可知z=i11=)i1)(i1(i1=21-21i,∴z=21+21i,∴z·i=-21+21i.所以z·i所对应的点位于第二象限.故选B.判断复数所在平面内的点的位置的方法:首先将复数化成a+bi(a、b∈R)的形式,其次根据实部a和虚数b的符号来确定点所在的象限.变式训练3-1:已知复数z满足(z-i435)(i2i43)=2i,则复数z对应的复平面内的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:由(z-i435)(i2i43)=2i,得z=i43i43,故z=i43i43=)i43)(i43()i43(2=25i247,对应的复平面内的点为（2524,257）,故选C.变式训练32:已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别为A、B、C.O为坐标原点,若OC=xOA+yOB,则x+y的值是.解析:由已知得A(-1,2),B(1,-1),C(3,-2),∵OC=xOA+yOB,∴(3,-2)=x(-1,2)+y(1,-1)=(-x+y,2x-y),∴，yx，yx223解得，y，x41故x+y=5.答案:5【例1】定义运算bdac=ad-bc,则符合条件i1i21i1z=0的复数z是()(A)52-54i(B)-52-54i(C)-52+54i(D)52+54i解析:设z=a+bi,根据定义运算得(a+bi)(1+2i)-(1+i)(1-i)=0,即(a-2b)+(2a+b)i=2,根据复数相等的定义得2202baba得5254ab所以z=52-54i.故选A.【例2】a为正实数,i为虚数单位,iia=2,则a等于()(A)2(B)3(C)2(D)1解析:由iia=|i|ia=112a=2,∴a2=3,又a为正实数,∴a=3.故选B.点击进入限时训练点击进入检测试题