【步步高】2015届高考数学总复习 第九章 9.6抛物线课件 理 北师大版

数学北（理）第九章平面解析几何§9.6抛物线基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的，直线l叫作抛物线的．相焦点准线等基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理2．抛物线的标准方程与几何性质y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下题号答案解析12345Cy2＝4x基础知识·自主学习B4(1)×(2)×(3)×(4)√夯实基础突破疑难夯基释疑题型一抛物线的定义及应用【例1】已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例1】已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为求|PA|＋d的问题．题型分类·深度剖析思维启迪思维升华解析题型一抛物线的定义及应用【例1】已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．解将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.题型分类·深度剖析∵62，∴A在抛物线内部，思维启迪思维升华解析题型一抛物线的定义及应用如图．【例1】已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，题型分类·深度剖析思维启迪思维升华解析题型一抛物线的定义及应用由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．【例1】已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．题型分类·深度剖析思维启迪思维升华解析题型一抛物线的定义及应用跟踪训练1已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A．172B．3C．5D．92解析抛物线y2＝2x的焦点为F(12，0)，准线是l，题型分类·深度剖析A由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于122＋－22＝172，选A.题型二抛物线的标准方程和几何性质【例2】抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例2】抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数．题型分类·深度剖析思维启迪思维升华解析题型二抛物线的标准方程和几何性质【例2】抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．解由题意，得抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，题型分类·深度剖析则|MA|＝|AN|，而|AN|＝5.∵|ON|＝3，∴|OA|＝32－52＝2，∴N(5，±2)．思维启迪思维升华解析题型二抛物线的标准方程和几何性质∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±52，【例2】抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．故抛物线的方程为x2＝52y或x2＝－52y.抛物线x2＝52y的焦点坐标为0，58，准线方程为y＝－58.题型分类·深度剖析抛物线x2＝－52y的焦点坐标为0，－58，思维启迪思维升华解析题型二抛物线的标准方程和几何性质准线方程为y＝58.【例2】抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．题型分类·深度剖析(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．思维启迪思维升华解析题型二抛物线的标准方程和几何性质跟踪训练2(1)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x(2)(2013·江西)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于()A．2∶5B．1∶2C．1∶5D．1∶3题型分类·深度剖析解析(1)直线方程为y＝2(x－a4)，令x＝0，得y＝－a2，题型分类·深度剖析故有4＝12·|a4|·|－a2|＝a216，∴a＝±8，∴y2＝±8x.(2)由抛物线定义知M到F的距离等于M到准线l的距离MH.即|FM|∶|MN|＝|MH|∶|MN|＝|FO|∶|AF|＝1∶5.答案(1)B(2)C题型三抛物线焦点弦的性质【例3】设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例3】设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证kOC＝kOA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决．题型分类·深度剖析思维启迪思维升华解析题型三抛物线焦点弦的性质【例3】设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.证明方法一设AB：x＝my＋p2，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.题型分类·深度剖析由根与系数的关系，得yAyB＝－p2，即yB＝－p2yA.∵BC∥x轴，且C在准线x＝－p2上，∴C(－p2，yB)．思维启迪思维升华解析则kOC＝yB－p2＝2pyA＝yAxA＝kOA.∴直线AC经过原点O.题型三抛物线焦点弦的性质【例3】设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.方法二如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D.则AD∥EF∥BC.连接AC交EF于点N，题型分类·深度剖析则|EN||AD|＝|CN||AC|＝|BF||AB|，|NF||BC|＝|AF||AB|.思维启迪思维升华解析∵|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|，题型三抛物线焦点弦的性质【例3】设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.∴|EN|＝|AD|·|BF||AB|＝|AF|·|BC||AB|＝|NF|，即N是EF的中点，从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O.题型分类·深度剖析思维启迪思维升华解析题型三抛物线焦点弦的性质【例3】设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力．在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到yAyB＝－p2这个重要结论．还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何题目．题型分类·深度剖析思维启迪思维升华解析题型三抛物线焦点弦的性质跟踪训练3已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)、B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24；(2)1|AF|＋1|BF|为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．题型分类·深度剖析证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)．由题意可设直线方程为x＝my＋p2，代入y2＝2px，得y2＝2p(my＋p2)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)则y1、y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.因为y21＝2px1，y22＝2px2，所以y21y22＝4p2x1x2，所以x1x2＝y21y224p2＝p44p2＝p24.跟踪训练3已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)、B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24；(2)1|AF|＋1|BF|为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．题型分类·深度剖析(2)1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24.因为x1x2＝p24，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得1|AF|＋1|BF|＝|AB|p24＋p2|AB|－p＋p24＝2p(定值)．跟踪训练3已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)、B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24；(2)1|AF|＋1|BF|为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．题型分类·深度剖析(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A、B作准线的垂线，垂足为C、D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝12(|AC|＋|BD|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．题型四直线与抛物线的位置关系【例4】已知抛物线C：y＝mx2(m0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标．(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值．(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例4】已知抛物线C：y＝mx2(m0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛