【步步高】2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正

1【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(T(α－β))tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.3．公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．(×)(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan2αtanβ)，且对任意角α，β都成立．(×)(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(√)(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)1．已知sinα＋cosα＝13，则sin2π4－α＝.答案1718解析由sinα＋cosα＝13两边平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－89，所以sin2π4－α＝1－cosπ2－2α2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718.2．若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝.答案34解析由sinα＋cosαsinα－cosα＝12，等式左边分子、分母同除cosα得，tanα＋1tanα－1＝12，解得tanα＝－3，则tan2α＝2tanα1－tan2α＝34.3．(2015·重庆改编)若tanα＝13，tan(α＋β)＝12，则tanβ＝.答案17解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tanα1＋α＋βα＝12－131＋12×13＝17.4．(教材改编)sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.3答案22解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22.5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为．答案17250解析∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴α＋π6∈π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，∴cos(2α＋π3)＝2cos2(α＋π6)－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一三角函数公式的基本应用例1(1)已知sinα＝35，α∈(π2，π)，则cos2α2α＋π4＝.(2)设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是．答案(1)－75(2)34解析(1)cos2α2sinα＋π4＝cos2α－sin2α222sinα＋22cosα＝cosα－sinα，∵sinα＝35，α∈π2，π，∴cosα＝－45.∴原式＝－75.(2)∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－12，又α∈π2，π，∴sinα＝32，tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－231－－32＝3.思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sinα＝.(2)已知cos(x－π6)＝－33，则cosx＋cos(x－π3)的值是．答案(1)35(2)－1解析(1)∵tan(α＋π4)＝tanα＋11－tanα＝17，∴tanα＝－34＝sinαcosα，∴cosα＝－43sinα.又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝925.5又∵α∈(π2，π)，∴sinα＝35.(2)cosx＋cos(x－π3)＝cosx＋12cosx＋32sinx＝32cosx＋32sinx＝3(32cosx＋12sinx)＝3cos(x－π6)＝－1.题型二三角函数公式的灵活应用例2(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为．(2)(2015·重庆改编)若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5＝.答案(1)22(2)3解析(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝22.(2)cosα－3π10sinα－π5＝sinπ2＋α－3π10sinα－π5＝sinα＋π5sinα－π5＝sinαcosπ5＋cosαsinπ5sinαcosπ5－cosαsinπ5＝tanαtanπ5＋1tanαtanπ5－1＝2＋12－1＝3.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC中，sinA＝－2cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－2，6则角A的值为．(2)函数f(x)＝2sin2(π4＋x)－3cos2x的最大值为．答案(1)π4(2)3解析(1)由题意知：sinA＝－2cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－2cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－2，又tan(B＋C)＝tanB＋tanC1－tanBtanC＝－1＝－tanA，所以A＝π4.(2)f(x)＝1－cosπ4＋x－3cos2x＝sin2x－3cos2x＋1＝2sin2x－π3＋1，可得f(x)的最大值是3.题型三角的变换问题例3(1)设α、β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝.(2)已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是．答案(1)2525(2)－45解析(1)依题意得sinα＝1－cos2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45.又α，β均为锐角，所以0αα＋βπ，cosαcos(α＋β)．因为4555－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sinα＝453，∴32cosα＋32sinα＝453，73(12cosα＋32sinα)＝453，3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.思维升华(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2＝.答案539解析cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2，∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sinπ4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sinπ4－β2＝63.故cosα＋β2＝13×33＋223×63＝539.5．三角函数求值忽视角的范围致误典例(1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，则cos(α＋8β)的值为．(2)已知在△ABC中，sin(A＋B)＝23，cosB＝－34，则cosA＝.易错分析(1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误．(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B为钝角．解析(1)∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)在△ABC中，∵cosB＝－34，∴π2＜B＜π，sinB＝1－cos2B＝74.∵π2＜B＜A＋B＜π，sin(A＋B)＝23，∴cos(A＋B)＝－1－sin2A＋B＝－53，∴cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB＝－53×－34＋23×74＝35＋2712.答案(1)－239729(2)35＋27129温馨提醒在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1∓tanx·tany)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2，配方变形：1±sinα＝sinα2±cosα22，1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．