2018东城区高中数学(理)一模试卷及答案

1北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）高三数学（理科）本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合{|31}Axx，{|1Bxx或2}x，则AB（A）{|32}xx（B）{|31}xx（C）{|11}xx（D）{|12}xx（2）复数i1iz在复平面上对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知,abR，且ab，则下列不等式一定成立的是（A）220ab（B）coscos0ab（C）110ab（D）0abee（4）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点34(,)55，则tan()的值为（A）43（B）34（C）43（D）34（5）设抛物线24yx上一点P到y轴的距离是2，则P到该抛物线焦点的距离是（A）1（B）2（C）3（D）4（6）故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窑瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”.某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有:（A）6种（B）8种（C）10种（D）12种（7）设{}na是公差为d的等差数列，nS为其前n项和，则“0d”是“nS为递增数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件2（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”.已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为（A）4（B）3（C）2（D）1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）在ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc.若222acbac，则B=．（10）在极坐标系中，圆2cos的圆心到直线sin1的距离为．（11）若,xy满足410,,,xyxyx≤≤≥则2zxy的最大值为．（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为____________.（13）设平面向量,,abc为非零向量．能够说明“若鬃ab=ac，则b=c”是假命题的一组向量,,abc的坐标依次为．（14）单位圆的内接正(3)nn边形的面积记为()fn，则(3)f_________；下面是关于()fn的描述:①2()sin2nfnn；②()fn的最大值为；③()(1)fnfn；④()(2)2()fnfnfn.其中正确结论的序号为__________.（注：请写出所有正确结论的序号）3三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）已知函数22()sin2sincoscosfxxxxx.(Ⅰ)求()fx的最小正周期；(Ⅱ)求()fx在[0,]2上的最大值和最小值.4（16）（本小题13分）从高一年级随机选取100名学生，对他们的期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示.（Ⅰ）从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率；（Ⅱ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于80分的人数为x，求x的分布列和数学期望()Ex；（Ⅲ）试判断这100名学生数学成绩的方差a与语文成绩的方差b的大小.（只需写出结论）5（17）（本小题14分）如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P为CD中点，分别将PAD，PBC沿PA，PB所在直线折叠，使点C与点D重合于点O，如图2.在三棱锥POAB中，E为PB的中点．（Ⅰ）求证：POAB；（Ⅱ）求直线PB与平面POA所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角PAOE的大小.图1图2（18）（本小题13分）6已知椭圆22221(0)xyCabab：的离心率为32，且过点A(2，0)．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设M，N是椭圆C上不同于点A的两点，且直线AM，AN的斜率之积等于－14.试问直线MN是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．（19）（本小题14分）已知函数()e(1)xfxax.（I）若曲线()yfx在(0,(0))f处的切线斜率为0，求a的值；（II）若()0fx恒成立，求a的取值范围；（III）证明：当0a时，曲线()(0)yfxx总在曲线2lnyx的上方.（20）（本小题13分）在(2)nnn个实数组成的n行n列的数表中，ija表示第i行第j列的数，记12iiiinraaa(1)in＃，12(1)jjjnjcaaajn.若{1,0,1}ija(1,)ijn＃.且1212,,,,,,,nnrrrccc两两不等，则称此表为“n阶H表”.记1212,,,,,,,nnnHrrrccc.（I）请写出一个“2阶H表”；（II）对任意一个“n阶H表”，若整数[,]nn，且nH，求证：为偶数；（III）求证：不存在“5阶H表”.7北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）高三数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）B（2）B（3）D（4）A（5）C（6）C（7）D（8）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）3（10）1（11）6（12）1223（13）(1,0),(0,1),(0,-1)（答案不唯一）（14）334；①③④三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为22()sin2sincoscosfxxxxxxxxxxx2cos2sin)sin(coscossin2222sin(2)4x.所以()fx的最小正周期为22.……………………………………7分(Ⅱ)因为02xp＃.所以32444xppp-??.当242xpp-=，即38xp=时，()fx取得最大值2；当244xpp-=-，即0x=时，()fx取得最小值1-.所以()fx在[0,]2上的最大值为2，最小值为1-.………………………13分（16）（共13分）解：（I）由图知，在被选取的100名学生中，数学和语文成绩均低于60分的有9人，所以从100名学生中随机选取一人，该生数学和语文成绩均低于60分的概率为90.09100.……………………………………………………………………………………3分8（Ⅱ）由图知，语文成绩大于80分的学生优10人，这10人中数学成绩高于80分的有4人，所以x的所有可能取值为0，1，2.262101(0)3CPCx===,11462108(1)15CCPCx===,242102(2)15CPCx===，所以x的分布列为x012p13815215故x的数学期望1824()012315155Ex=???.……………………………10分（Ⅲ）由图判断，ab.…………………………………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，P为CD中点，PDAD,PCBC，所以在三棱锥POAB中，POOA，POOB.因为OAOBO，所以PO平面OAB.因为AB平面OAB,所以POAB.……………………4分（Ⅱ）取AB中点F，连接OF，取AO中点M，连接BM.过点O作AB的平行线OG.因为PO⊥平面OAB，所以PO⊥OF，PO⊥OG.因为OA＝OB，F为AB的中点，所以OF⊥AB.所以OF⊥OG.如图所示，建立空间直角坐标系O－xyz.A()1，3，0，B()－1，3，0，P()0，0，1，M(12，32，0)．因为BO＝BA，M为OA的中点，所以BM⊥OA.因为PO⊥平面OAB，PO⊂平面POA，所以平面POA⊥平面OAB.因为平面POA∩平面OAB＝OA，BM⊂平面OAB，所以BM⊥平面POA.因为BMuuur＝(32，－32，0)．所以平面POA的法向量m＝()3，－1，0.BPuur＝(1，－3，1)．设直线BP与平面POA所成角为α，9则15sincos5BPBPBPa×===uuruuruurmm,m.所以直线BP与平面POA所成角的正弦值为155.………………10分（Ⅲ）由(Ⅱ)知131,,222E，131,,222OE，1,3,0OA.设平面OAE的法向量为n，则有0,0.OAOEnn即30,30.xyxyz令1y，则3x，23z.即3,1,23n.所以21cos,242mnmnmn.由题知二面角P－AO－E为锐角，所以它的大小为3p.……………………………14分（18）（共13分）解：（I）由已知有222,3.2aaba解得2,1.ab椭圆C的方程为2214xy.……………………………4分（II）若直线MN斜率存在，设直线MN方程为ykxn.由22,1,4ykxnxy消去y，得222(14)8440kxknxn.当0，设1122(,),(,)MxyNxy，则122814knxxk………..①，21224414nxxk………..②.由12121224AMANyykkxx以及11ykxn，22ykxn整理，得221212(14)(42)()(44)0kxxnkxxn.10将①，②代入上式，整理，得220nkn，解得0n或2nk.当0n时，直线ykxn过(0,0)；当2nk时，直线ykxn过(2,0)（舍）.若直线MN斜率不存在，则直线,AMAN斜率互为相反数.不妨设11,22AMANkk，于是直线1:(2)2AMyx与椭圆交于(0,1)M，由对称性可知直线AN与椭圆交于(0,1)N.所以直线MN也过(0,0).综上，直线MN过定点(0,0).……………………………13分19）（共14分）解：（I）函数()e(1)xfxax的定义域为R.因为()e(1)xfxax，所以'()exfxa.由'(0)10fa得1a.……………………………4分（II）'()e(R)xfxax.①当0a时，令'()0fx得lnxa.lnxa时，'()0fx；lnxa时，'()0fx.()fx在(,ln)a上单调递减，在(ln,+)a上单调递增.所以当lnxa时，()fx有最小值(ln)(1ln)lnfaaaaaa.“()0fx恒成立”等价于“()fx最小值大于等于0”，即ln0aa.因为0a，所以01a.②当0a时，()e0xfx符合题意；③当0a时，取011xa，则111101()e(11)e10aafxaa，不符合题意.综上，若()0fx对xR恒成立，则a的取值范围为[0,1].……………………9分（III）当0a时，令()()(2ln)eln2(0)xhxfxxxx，可求1'()exhxx.11因为121'()e1002h，'(1)e10h，且1'()exhxx在(0,)上单调递增，所以在（0，+?）上存在唯一的0x，使得0001'()e0xhxx，即001exx，且0112x.当x变化时，()hx与'()hx在（0，+?）上的情况如下：x0(0,)x0x0(,)x'()hx0()hx极小则当0xx时，()hx存在最小值0()hx,且000