傅里叶积分课件2PPT

第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-1-一傅里叶变换的概念在上节中，我们已经知道如果函数积分收敛定理的条件，()ft满足傅立叶则在()ft的连续点处有1()[()]2iwiwtftfededw如果在上式中设()()(2.1.1)iwtFwftedt则1()()(2.1.2)2iwtftFwedw这表明()ft和()Fw可以通过指定的积分运算互相表示。第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-2-定义称()()iwtftedtFw为()ft的傅立叶变换式，称()Fw为()ft的傅氏变换的像函数称1()2iwtFwedw为()Fw的傅立叶逆变换式，记称()ft为()Fw的傅氏逆变换的像原函数。根据定义我们有后一个式子在()ft的连续点成立。作1[()],Fwℱ记为[()],ftℱ1[()]]()FwFw(1.2.3)ℱ[ℱ1[[()]]()ftft(1.2.4)ℱℱ第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-3-例1设函数0()(0),00tetftt求()ft的傅立叶变换及其傅立叶积分。()ft称为指数衰减函数，在工程技术中经常遇到这个函数。解()iwtftedt()00tiwtiwteedtedt()2201iwteiwiwiww()Fw[()]ftℱ第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-4-根据傅立叶逆变换的定义，()ft傅立叶积分实际上就是()Fw的傅立叶逆变换，利用奇、偶函数的积分性质，我们有221(cossin)2iwwtiwtdww2201cossinwtwwtdww利用傅氏积分收敛定理，可得含参变量广义积分的结果，11[()]()2iwtFwFwedwℱ第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-5-2200cossin0200tetwtwwtdwtwt解00tiwttiwteedteedt0()()011iwtiwteeiwiw22112iwiww[()]()iwtftftedtℱ例2设||()(0),tfte求[()]ftℱ第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-6-例3求钟形脉冲函数2()(0)tfte的傅氏变换。解()iwtftedt2tiwteedt2(cossin)tewtiwtdt202costewtdt令20()costIwewtdt则201(0)2tIedt且()Fw[()]ftℱ第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-7-20()sintIwtewtdt201sin2twtde22001[sincos]2ttttewtwewtdt()2wIw24()wIwCe所以利用1(0)2I得241()2wIwe即24[()]wfteℱ第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-8-由前节可知偶函数)(tf的傅立叶积分为00cos]cos)([2)(wtdwdwftf奇函数)(tf的傅立叶积分为00sin]sin)([2)(wtdwdwftf由此可以得到傅立叶余弦变换、傅立叶正弦变换。定义设)(tf在区间),0[满足傅立叶积分收敛的条件，称0cos)(wtdttf为函数)(tf傅立叶余弦变换式，记为ℱ)],([tfy即ℱ)]([tfy0cos)(wtdttf)(wFy第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-9-称)(wFy为)(tf傅立叶余弦变换像函数。称)(tf为)(wFy的傅立叶余弦逆变换像原函数.0cos)(2wtdwwFy为)(wFy傅立叶余弦逆变换式,记为ℱ)],([1wFyy即ℱ)]([1wFyy0cos)(2wtdwwFy称称0sin)(wtdttf为函数)(tf傅立叶正弦变换式，记为ℱ)],([tfz即ℱ)]([tfz0sin)(wtdttf)(wFz记为ℱ)],([1wFyy第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-10-称)(wFz为)(tf傅立叶正弦变换像函数。称)(tf为)(wFz的傅立叶正弦逆变换像原函数.0sin)(2wtdwwFy为)(wFz傅立叶正弦逆变换式,记为ℱ)],([1wFzz即ℱ)]([1wFzz0sin)(2wtdwwFz称第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-11-例求函数)0()(tetf傅立叶余弦、正弦变换。解ℱ)]([tfy0cos)(wtdttf0coswtdtet02dteeeiwtiwtt0)([21iwetiw]0)(iwetiw22w第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-12-ℱ)]([tfz0sin)(wtdttf02dtieeeiwtiwtt0)([21iweitiw]0)(iwetiw0sinwtdtet22ww第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-13-二单位脉冲函数及其傅里叶变换在电流为零的线性电路中，某一瞬间(设为0t)进入一单位电量，现确定该电路的电流(),It设电路的电荷函数为(),qt则0,0;()1,0.tqtt由于电流强度为电荷函数对时间的变化率，所以0()()()()limtdqtqttqtItdtt即0,0;(),0.tItt(1.2.5)第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-14-另一方面，通过电路的总电荷等于电流强度对时间的积累，即()1Itdt(1.2.6)在通常的意义下的函数类中找不到一个函数能够满足(1.2.5)(1.2.6),、因此满足(1.2.5)(1.2.6)、是一个广义上的函数称为狄拉克函数，在工程技术上又称为单位脉冲函数，记为().t狄拉克函数是一个广义函数，它的精确定义必须有泛函分析的的基础,在这里我们仅把狄拉克函数看作弱收敛函数列的弱极限，即对于任何一个无限次可微第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-15-函数(),ft如果满足0()()lim()()tftdttftdt(1.2.7)其中1,0;()0,0.tttt或则称()t为函数列()t的弱极限，记为0()()tt或简记为0lim()()tt利用(1.2.7)我们有0001()lim()lim1tdttdtdt这就是(1.2.6)式。第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-16-利用(1.2.7)我们还可以推出()t的一个重要的性质，即筛选性质：如果函数()ft为一个无限次可微函数，则有()()(0)tftdtf(1.2.8)事实上，0()()lim()()tftdttftdt001lim()ftdt由于()ft连续，按积分中值定理有00()()lim()(0)tftdtff第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-17-同理我们有00()()()ttftdtft(1.2.9)即[()]1t(1.2.10)ℱ或1[1]()tℱ同理有00[()]iwttte(1.2.11)ℱ或010[]()iwtettℱ由此可知0[()]()1iwtiwttttedteℱ第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-18-需要指出：关于()t的傅氏变换是按(1.2.7)式来定义的，是一种广义的傅立叶变换，有了狄拉克函数及其傅立叶变换后，许多函数如常数函数、符号函数、单位阶跃函数及其正、余弦函数都可以求(广义)傅立叶变换。采用古典意义下的定义形式。为方便起见我们仍第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-19-例4设10()00tutt（称其为单位阶跃函数），证明1[()]()utwiw(1.2.12)ℱ[证]设1()()Fwwiw11[()]2iwtwedwiw11()22iwtiwtewedwdwiw011sin2wtdww由于1[()]Fw()ftℱ第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-20-由于0sin2wdww所以0sinsgn2wtdwtw因此011sin()2wtftdww11sgn()22tut所以1[()]()utwiwℱ第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-21-为了不涉及狄拉克函数的较深入理论，经常通过求傅氏逆变换的方法来推出某些函数的傅氏变换。例如由于11[2()]2()12iwtwwedwℱ所以[1]2()iwtedtw(1.2.13)ℱ同理00()0[]2()iwtiwwteedtww(1.2.14)ℱ第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-22-上述的几个积分在普通的广义积分下是不收敛的，这里的积分是在更广意义下进行的，严格的讲是按(1.1.7)式定义的。有了这些积分后，我们可以方便地求某些函数的傅氏变换。第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-23-例4求正弦函数0()sinftwt的傅氏变换。解001[]2iwtiwtiwteeedti00()()1[2iwwtiwwtedtedti001[2()2()]200[()()]i()Fw00[sin]siniwtwtewtdtℱ第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-24-例6求符号函数()sgnftt的傅氏变换。解()2()1ftut2()iwtiwtutedtedt22()2()wwiw2iw[()][2()1]iwtftutedtℱ第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-25-三非周期函数的频谱在傅立叶级数的理论中，一个以2T为周期的非正弦函数()ft的第n次谐波为cossinsin()nnnnnnnawtbwtAwt其中nnwnwT为频率，22nnnAab为振幅，在复数形式下，第n次谐波为nniwtiwtnncece其中,22nnnnnnaibaibcc第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-26-且221||||(0,1,2,)2nnnnccabn因此2||(0,1,2,)nnAcn这反映了振幅与频率之间的关系。所谓的频谱图就是反映振幅与频率的关系图，nA称为振幅频谱。所以这种频谱图是不连续的，由于0,1,2,n称之为离散频谱。例6画出如图所示的函数的频谱图。T2T32Tt()fthoT2T52T2T第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-27-解()ft以2T为周期，在一个周期内()ft的表示式为220()00;TThtftTttT利用上节(1.1.3)式可得：20011()224TTThcftdthdtTT1()2ntiTTnTcftedtT2201[1]22ntniTiThihedteTn(cossin1)222hinnin第二节傅里叶变换第一章傅里叶变换-28-Awo22|