2017-2018学年度第一学期线性代数试卷及答案

河南工业大学求是学社为了更多人活得更好而努力！12017-2018学年度第一学期线性代数试题卷命题：求是学社线性代数命题研究组填空题1、排列654321aaaaaa的逆序数等于4，排列123456aaaaaa的逆序数等于2、设A=101020101，而n≥2为整数，则1-nnAA=3、设4阶方阵A的伴随矩阵为*A，若2）（AR，则）（*AR=4、4、向量组，）（0,1,1-u,11，）（1,u,1-,12，)1,0,1,v(3，)0,1,1,0(4线性无关，则v,u满足的关系是5、设四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为8,6,4,3则行列式丨丨EB1=选择题1、设BA,都是n阶非零矩阵，且0AB，则)(AR和)(BR()A、必有一个等于0B、一个小于n，一个等于nC、都小于nD、一个小于n，一个大于n2、若向量组,,线性无关，,,线性相关，则（）河南工业大学求是学社为了更多人活得更好而努力！2A、必可由,,线性表示B、必可由,,线性表示C、必可由,,线性表示D、必可由,,线性表示3、设BA,均为n阶对称矩阵，则可能不是对称矩阵的是（）A、BAB、TTABBAC、ABD、nnBA(n为正整数）4、齐次线性方程组0200k321321321xxxxkxxxxx有非零解，则（）A、3k或1kB、4k或1kB、4k或1kD、4k或1k5、设有向量组)4,2,1,1(1，)2,1,3,0(2，)14,7,0,3(3，)0,2,2,1(4，)10,5,1,2(5，则该向量组的极大线性无关组是（）A、321,,B、421，，C、521，，D、5421，，，计算题1、计算行列式0532002140020202527102133D河南工业大学求是学社为了更多人活得更好而努力！32、设方程组,03121232121321xxxaa讨论a的取值，使得方程组有唯一解，无解，有无穷多个解。当方程有无穷多个解时，并求出其通解。3、10512022-1147032130421-154321，求向量组的一个极大线性无关组与秩，并把其余向量用极大线性无关组线性表示。4、设A=322232223，P=100101010，PAPB*1-,令M=B+2E，求M的特征值与特征向量。5、设A为四阶矩阵，A*=803-0010100100001，又EBAABA31-1,求矩阵B。证明题设n阶矩阵A的伴随矩阵为*A,证明:(1)若0A,则0*A;（2））（1-n*AA河南工业大学求是学社为了更多人活得更好而努力！42017-2018学年度线性代数试题卷答案填空题1、11462)aa123456aaaa（2、101000101)2(21-n101-nnAEAAAA00·2-nA3、当22-n)(AR时，0ijA，于是0)(*AR4、由4321,,,线性无关0110101111011u14321vu的行列式001101011110111vuu01101)1(1011001110110101111011-u11312vuvuuurrrrvu0111)1(111uvuvu00111)1(11121uvuvucc0)]1(1[1uv111uv2uv5、因为BA~所以BA、特征值相同B的特征值8,6,43，1B81614131，，，EB187,65,43,32963587x65x)43(x)32(1EB河南工业大学求是学社为了更多人活得更好而努力！5选择题：1、C.当0AB时（AB都为n阶方阵）由定理n）（）（BRAR又BA、都为非零矩阵所以）（）、（BRAR均小于n2、C因为、、线性相关，所以、、、线性相关（部分相关，整体相关）又、、线性无关所以、、为、、、的极大无关组则可由、、线性表示（向量组的任何一个向量都可以由线性无关组表示）3、CTTTBABA)(因为BA、为对称矩阵，所以BBAATT、所以BABATT所以BA是对称矩阵BAABABABAABBAABBATTTTTTTTTTTTT)()()()()(又ABBAABBATT所以TTABBA为对称矩阵河南工业大学求是学社为了更多人活得更好而努力！6ABBAABABTTT)(4、B当0AX，n)(AR时仅有零解n)(＜AR时有非零解当n)(＜AR，此时0A0)4)(1(32111)1(3k21k1k132k-1-01-k1k1k10r2rkrr1121k111k222321kkkkkA所以41kk或5、B设2422010110313302130142r1001424527121203121301),,,,(14132154321rrrrrATTTTT000000100010110213010400010110010002130123r3432rrr000000100010110203013)(AR极大无关组为),421TTT，（于是本题中为TTT421,,注（考试时将向量全部转置为列向量求秩和极大无关组）大题1、解：按最后一列展开得：5320214020202133)1(25河南工业大学求是学社为了更多人活得更好而努力！7再按第一列展开得：532214202)1(1125再按第一行展开得：263214253212）（2、方程组可写为AX=b，对增广矩阵(A,b)进行初等行变换得3)3)(1(001101121aaaa（1）当a-1且a-3时，R（A）=R(A,b),所以方程组有唯一解（2）当a=-1，R(A)R(A,b),无解（3）当a=3，R(A)=R(A,b)=23,有无穷多解(A,b)化为行最简型00001-3-103701，所以X=k)01-3137-Rk（3、把4321，，，化为行最简型00000010001011020301。则向量组的一个最大线性无关组421，，，且212521334、322232223-AE=)7()1(2所以A的特征值21=1，3=7河南工业大学求是学社为了更多人活得更好而努力！8由21=1，求解（A-E）=0A-E=000000111所以21=1对应的线性无关的特征向量为101-011-21，3=7，求解（A-E）=0A-7E=0001-101-01得3=7对应的线性无关的特征向量为1113由得AA*的特征值177321AAA，，A*对应的线性无关的特征向量为101-011-21，，1113由B=P1A*P得B的特征值7,7,1，对应的线性无关的特征向量为011111P,111212P110313P,则B-2E的特征值为9，9,3，对应的线性无关的特征向量为01-1，11011-1-32，5、1-030060600600006283**AAAA得，由，对于EBAABA31-1两边右乘A，左乘A1-得EBAABEBAB62311从而,即EBAB62*,整理得EBAE6)2*（,解得B=1*)26AE（接下来就是求的1)2*AE（河南工业大学求是学社为了更多人活得更好而努力！9逆矩阵咯，由）），（）矩阵初等行变换（（1-**2,2AEEEAE。证明题用反证法EAAA1***)(01，则有）假设（0)()(1*1**AEAAAAA矛盾这与0,0**AA（2）取行列式得,*EAAAnAAA*1*,0nAAA则若,01,0*AA）知，由（若此时命题成立。所以1*nAA校内交流，欢迎转载！欢迎加入河南工大数学交流与指导群327256490欢迎微信搜索公众号工大求是，关注我们！感谢你对求是的信赖，预祝你取得理想成绩！河南工业大学求是学社为了更多人活得更好而努力！10求是，我们一直在路上！