高等数学 函数

1高等数学2函数复习(P3)一、函数的概念1.几个符号:充分必要;属于;存在;对任意的;推出;不属于;并;交;包含.2.邻域:邻域,其中a称为邻域中心,称为邻域半径.。去心邻域:U(a,)={x|0|x-a|}.左邻域:(a-,a);右邻域:(a,a+);对任意的正数,称区间(a-,a+)为点a的记为U(a,),即U(a,)={x|a-xa+}={x||x-a|}.任邻域U(a);aa+a-(–––––––––)xU(a,)x(a-,a+)a-xa+|x-a|.31––––x-4函数复习(P3)3.设有非空数集D,x和y是两个变量,若xD,量y按一定的法则f总有确定的值与之对应,记为y=f(x).f(D)称为值域.x的函数,D为定义域,例1.求定义域两函数相等对应法则相等,定义域相等.(1)y=.解:定义域D:x4.(2)y=arcsin(x-1).解:|x-1|1,定义域D:0x2.aa+a-(–––––––––)xU(a,)x(a-,a+)a-xa+|x-a|.变则称y是4函数复习(P7)3.设有非空数集D,x和y是两个变量,若xD,变量y按一定的法则f总有确定的值与之对应,则称y是记为y=f(x).f(D)称为值域.x的函数,D为定义域,例1.求定义域两函数相等对应法则相等,定义域相等.(1)y=.解:定义域D:x4.(2)y=arcsin(x-1).解:|x-1|1,定义域D:0x2.4.函数的表示法:表格法,图形法,解析法(公式法).1––––x-45函数复习(P8)例2.画出下列函数图形两函数相等对应法则相等,定义域相等.(1)y=2.4.函数的表示法:表格法,图形法,解析法(公式法).(2)y=|x|=(3)y=2yxoyxoyxo21•••x,x0-x,x02x,0x11+x,x16函数复习(P8)例2.画出下列函数图形(4)符号函数yxo21y=sgnx=••1yxo-1•°°(3)y=2x,0x11+x,x11,x00,x=0-1,x07函数复习(P10)例2.画出下列函数图形(4)符号函数y=sgnx=(5)取整函数y=[x],表示不超过x的最大整数.-3-2-11231yxo-1•°°-3321-1-2••••••阶梯函数阶梯曲线yxo-------1,x00,x=0-1,x08函数复习(P11)二、函数的四种特性设函数f(x)于D有定义,且有区间ID,1.单调性:则称f(x)为I上的单调增函数(单增);上单调减函数(单减).若x1,x2I,当x1x2时有f(x1)f(x2),若f(x1)f(x2),则称f(x)为I单增单减函数统称为单调函数.例如:y=x3于(-,+)单增.y=x2于(-,0)单减;于(0,+)单增;y=x2于(-,+)没有单调性.yxoyxo9函数复习(P12)设函数f(x)的定义域D关于原点对称,2.奇偶性:若对xD,恒有f(-x)=f(x),则称f(x)在D上为偶函数;例如:y=x3为奇函数;y=x2,y=cosx均为偶函数;于(0,+)单增;y=x2于(-,+)没有单调性.yxoyxo若恒有f(-x)=-f(x),则称f(x)在D上为奇函数.y=sinx为奇函数;y=cosx+sinx为非奇非偶函数.例如:y=x3于(-,+)单增.y=x2于(-,0)单减;10函数复习(P13)设函数f(x)的定义域D关于原点对称,2.奇偶性:若对xD,恒有f(-x)=f(x),则称f(x)在D上为偶函数;例如:y=x3为奇函数;y=x2,y=cosx均为偶函数;若恒有f(-x)=-f(x),则称f(x)在D上为奇函数.y=sinx为奇函数;y=cosx+sinx为非奇非偶函数.设函数f(x)于D有定义,若一个正数l,3.周期性:使对xD,有xlD,且f(xl)=f(x)恒成立,f(x)为周期函数,称l为f(x)的周期.例如:y=sinx,y=cosx以2为周期;y=tanx以为周期.则称11函数复习(P11)设函数f(x)于D有定义,若一个正数l,3.周期性:使对xD,有xlD,且f(xl)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,称l为f(x)的周期.例如:y=sinx,y=cosx以2为周期;y=tanx以为周期.设函数f(x)于D有定义,4.有界性:数集XD,若数K1,使对xX有f(x)K1,则称函数f(x)在称K1为f(x)在X上的一个上界.X上有上界,(K2)(f(x)K2)(下)(下)若数M0,使对xX有|f(x)|M,则称函数f(x)在X上有界.(M不唯一)(K2)12函数复习(P11)设函数f(x)于D有定义,4.有界性:数集XD,若数K1,使对xX有f(x)K1,则称函数f(x)在称K1为f(x)在X上的一个上界.X上有上界,(K2)(f(x)K2)(下)(下)若数M0,使对xX有|f(x)|M,则称函数f(x)在X上有界.若这样的M不存在,则称函数f(x)在X上无界.例如:y=sinx于(-,+)有界,因为|sinx|1.再如:y=x2于(1,2)有下界1,有上界4,y=x2于(-,+)有下界,但无上界,则x2于(-,+)无界.(M不唯一)f(x)有界f(x)既有上界,也有下界.于(1,2)有界;(K2)13函数复习(P14)三、初等函数例如:y=sinx于(-,+)有界,因为|sinx|1.再如:y=x2于(1,2)有下界1,有上界4,y=x2于(-,+)有下界,但无上界,则x2于(-,+)无界.f(x)有界f(x)既有上界,也有下界.于(1,2)有界;1.反函数:设函数y=f(x)于D有定义,值域为W,若对yW,有唯一确定的xD与之对应,定的函数x=(y)为y=f(x)的反函数,记为y=f-1(x).函数y=f(x)与y=f-1(x)的图形对称于直线y=x.若f(x)于某区间I单调,则反函数于I必存在,且单调.则称这样确14函数复习(P14)三、初等函数1.反函数:设函数y=f(x)于D有定义,值域为W,若对yW,有唯一确定的xD与之对应,则称这样确定的函数x=(y)为y=f(x)的反函数,记为y=f-1(x).函数y=f(x)与y=f-1(x)的图形对称于直线y=x.若f(x)于某区间I单调,则反函数于I必存在,且单调.设函数y=f(u)于D有定义,2.复合函数:复合而成的复合函数,u=(x)的则称函数y=f[(x)],xD为y=f(u)与u=(x)值域WD,u为中间变量.例如:y=sinex是由y=sinu与u=ex复合而成;再如:y=ln(sinex)是由y=lnu与u=sinv与v=ex复合而成;15函数复习(P17)三、初等函数3.基本初等函数(五大类)10幂函数:y=x(为常数,0)yxoyxoy=xyxoy=x2y=x3y=x-1xy复合而成的复合函数,则称函数y=f[(x)],xD为y=f(u)与u=(x)值域WD,u为中间变量.例如:y=sinex是由y=sinu与u=ex复合而成;再如:y=ln(sinex)是由y=lnu与u=sinv与v=ex复合而成;16函数复习(P17)20指数函数:y=ax(a0,a1).特例:y=exyxoyxo1a11y=ex0a1y=e-xy=ax三、初等函数3.基本初等函数(五大类)10幂函数:y=x(为常数,0)yxoyxoy=xyxoy=x2y=x3y=x-1xy17函数复习(P17)30对数函数:y=logax(a0,a1).特例:y=lnxyxo1a10a1y=logax20指数函数:y=ax(a0,a1).特例:y=exyxoyxo1a11y=ex0a1y=e-xy=axyxo1y=lnx18函数复习(P17)40三角函数:y=sinx,cosx,tanx,cotx,secx,cscx.30对数函数:y=logax(a0,a1).特例:y=lnxyxo1a10a1y=logaxyxo1y=lnxy=sinxy=cosx19函数复习(P17)40三角函数:y=sinx,cosx,tanx,cotx,secx,cscx.y=secxy=cscxy=tanxy=cotx20函数复习(P17)50反三角函数:y=arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx.y=secxy=cscxy=Arcsinxy=arcsinxy=Arccosxy=arccosx21函数复习(P17)50反三角函数:y=arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx.y=Arcsinxy=arcsinxy=Arccosxy=arccosx22函数复习(P17)4.由常数及基本初等函数经有限次四则运算和复合否则称为非初等函数.步骤所构成,并可用一个式子表示的函数称为初等函数.四、双曲函数23函数复习(P18)4.由常数及基本初等函数经有限次四则运算和复合否则称为非初等函数.步骤所构成,并可用一个式子表示的函数称为初等函数.四、双曲函数1.双曲正弦:y=shxex-e-x=––––––22.双曲余弦:y=chxex+e-x=––––––2偶函数,y0,过点(0,1),无上界.奇函数,过原点,无界.yxoexy=––2e-xy=–––2y=chxy=shx1––2124函数复习(P18)四、双曲函数1.双曲正弦:y=shx2.双曲余弦:y=chx偶函数,y0,过点(0,1),无上界.奇函数,过原点,无界.yxoy=chxy=shx13.双曲正切:y=thxshx=––––chxex-e-x=––––––ex+e-x奇函数,过原点,|y|1.oyxy=thx1-1结束ex-e-x=––––––2ex+e-x=––––––2exy=––2e-xy=–––21––2