高等数学-1章-函数与极限-3

高等数学教案第一章函数与极限高等数学课程建设组1(3)BAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim(B0)证明(1)因为limf(x)Alimg(x)B根据极限与无穷小的关系有f(x)Ag(x)B其中及为无穷小于是f(x)g(x)(A)(B)(AB)()即f(x)g(x)可表示为常数(AB)与无穷小()之和因此lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB推论1如果limf(x)存在而c为常数则lim[cf(x)]climf(x)推论2如果limf(x)存在而n是正整数则lim[f(x)]n[limf(x)]n定理4设有数列{xn}和{yn}如果AxnnlimBynnlim那么(1)BAyxnnn)(lim(2)BAyxnnn)(lim(3)当0ny(n12)且B0时BAyxnnnlim定理5如果(x)(x)而lim(x)alim(x)b那么ab例1求)12(lim1xx解11121lim21lim2lim)12(lim1111xxxxxxx讨论若nnnnaxaxaxaxP1110)(则?)(lim0xPxx提示nxxnxxnxxnxxxxaxaxaxaxP00000lim)(lim)(lim)(lim)(lim1110nxxxxnnxxnxxaxaxaxa0000limlim)(lim)(lim1110))lim()lim(11000nnxxnxxaxaxaa0x0na1x0n1anP(x0)若nnnaxaxaxP)(110则)()(lim00xPxPxx高等数学教案第一章函数与极限高等数学课程建设组2例2求351lim232xxxx解)35(lim)1(lim351lim2232232xxxxxxxxx3limlim5lim1limlim2222232xxxxxxxx325)lim(1)lim(2232xxxx3731021223提问如下写法是否正确？35lim1lim351lim2232232xxxxxxxxx3731021223)35(lim)1(lim351lim2232232xxxxxxxxx37)3102(lim)12(lim2232xx例3求93lim23xxx解31lim)3)(3(3lim93lim3323xxxxxxxxx61)3(lim1lim33xxx例4求4532lim21xxxx解031241513245lim221xxxx根据无穷大与无穷小的关系得4532lim21xxxx提问如下写法是否正确？01)45(lim)32(lim4532lim21121xxxxxxxxx讨论有理函数的极限?)()(lim0xQxPxx提示当0)(0xQ时)()()()(lim000xQxPxQxPxx高等数学教案第一章函数与极限高等数学课程建设组3当0)(0xQ且0)(0xP时)()(lim0xQxPxx当Q(x0)P(x0)0时先将分子分母的公因式(xx0)约去例5求357243lim2323xxxxx解先用x3去除分子及分母然后取极限73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx例6求52123lim232xxxxx解先用x3去除分子及分母然后取极限020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx例7求12352lim223xxxxx解因为052123lim232xxxxx所以12352lim223xxxxx讨论有理函数的极限?lim110110mmmnnnxbxbxbaxaxa提示mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx0lim00110110例8求xxxsinlim解当x时分子及分母的极限都不存在故关于商的极限的运算法则不能应用因为xxxxsin1sin是无穷小与有界函数的乘积高等数学教案第一章函数与极限高等数学课程建设组4所以0sinlimxxx定理8(复合函数的极限运算法则)设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若0)(lim0uxgxxAufuu)(lim0且在x0的某去心邻域内g(x)u0则Aufxgfuuxx)(lim)]([lim00定理8(复合函数的极限运算法则)设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)u0则Aufxgfuuxx)(lim)]([lim00简要证明设在{x|0|xx0|0}内g(x)u0要证00当0|xx0|时有|f[g(x)]A|因为f(u)A(uu0)所以00当0|uu0|时有|f(u)A|又g(x)u0(xx0)所以对上述010当0|xx0|1时有|g(x)u0|取min{01}则当0|xx0|时0|g(x)u0|从而|f[g(x)]A||f(u)A|注把定理中0)(lim0uxgxx换成)(lim0xgxx或)(limxgx而把Aufuu)(lim0换成Aufu)(lim可类似结果把定理中g(x)u0(xx0)换成g(x)(xx0)或g(x)(x)而把f(u)A(uu0)换成f(u)A(u)可类似结果例如例9求39lim23xxx解392xxy是由uy与392xxu复合而成的因为639lim23xxx所以6lim39lim623uxxux高等数学教案第一章函数与极限高等数学课程建设组5§17极限存在准则两个重要极限准则I如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件(1)ynxnzn(n123)(2)aynnlimaznnlim那么数列{xn}的极限存在且axnnlim证明因为aynnlimaznnlim以根据数列极限的定义0N10当nN1时有|yna|又N20当nN2时有|zna|现取Nmax{N1N2}则当nN时有|yna||zna|同时成立即aynaazna同时成立又因ynxnzn所以当nN时有aynxnzna即|xna|这就证明了axnnlim简要证明由条件(2)0N0当nN时有|yna|及|zna|即有aynaazna由条件(1)有aynxnzna即|xna|这就证明了axnnlim准则I如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)g(x)f(x)h(x)(2)limg(x)Alimh(x)A那么limf(x)存在且limf(x)A注如果上述极限过程是xx0要求函数在x0的某一去心邻域内有定义上述极限过程是x要求函数当|x|M时有定义OCADB1x高等数学教案第一章函数与极限高等数学课程建设组6准则I及准则I称为夹逼准则下面根据准则I证明第一个重要极限1sinlim0xxx证明首先注意到函数xxsin对于一切x0都有定义参看附图图中的圆为单位圆BCOADAOA圆心角AOBx(0x2)显然sinxCBxABtanxAD因为SAOBS扇形AOBSAOD所以21sinx21x21tanx即sinxxtanx不等号各边都除以sinx就有xxxcos1sin1或1sincosxxx注意此不等式当2x0时也成立而1coslim0xx根据准则I1sinlim0xxx简要证明参看附图设圆心角AOBx(20x)显然BCABAD因此sinxxtanx从而1sincosxxx(此不等式当x0时也成立)因为1coslim0xx根据准则I1sinlim0xxx应注意的问题在极限)()(sinlimxx中只要(x)是无穷小就有1)()(sinlimxx这是因为令u(x)则u0于是)()(sinlimxx1sinlim0uuu1sinlim0xxx1)()(sinlimxx((x)0)例1求xxxtanlim0解xxxtanlim0xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00xxxxx高等数学教案第一章函数与极限高等数学课程建设组7例2求20cos1limxxx解20cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx2112122sinlim21220xxx2112122sinlim21220xxx准则II单调有界数列必有极限如果数列{xn}满足条件x1x2x3xnxn1就称数列{xn}是单调增加的如果数列{xn}满足条件x1x2x3xnxn1就称数列{xn}是单调减少的单调增加和单调减少数列统称为单调数列如果数列{xn}满足条件xnxn1nN在第三节中曾证明收敛的数列一定有界但那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则II表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛准则II的几何解释单调增加数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生根据准则II可以证明极限nnn)11(lim存在设nnnx)11(现证明数列{xn}是单调有界的按牛顿二项公式有nnnnnnnnnnnnnnnnnnnx1!)1()1(1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111nnnnnnnn)111()121)(111(!1)121)(111(!31)111(!21111nnnnnnnnxn高