常系数非齐次高阶线性微分方程

1常系数非齐次高阶线性微分方程(以二次方程为例)型)()(xPexfmxxxPexflxcos)([)(型]sin)(~xxPn1、2、Euler方程:可化为常系数情形2)(xfyqypy),(为常数qp一、二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法3)([xQex)()2(xQp])()(2xQqp)(xPemx1、型)()(xPexfmx为实数,)(xPm设特解为,)(*xQeyx其中为待定多项式,)(xQ])()([*xQxQeyx])()(2)([*2xQxQxQeyx代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为.)(*xQeymx为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式)(xfyqypy4(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,,02p)(xQ则是m次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*2小结对方程①,)2,1,0()(*kexQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.)(xQ)(xPm)()(2xQqp即即当是特征方程的k重根时,可设特解5综上讨论,)(*xQexymxk设是重根是单根不是根2,10k注：上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.)(xfyqypy),(为常数qp①)()(xPexfmx6例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得31,110bb于是所求特解为0,07例2.的通解.解:本题特征方程为,0652rr其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数,得1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy代入方程得xbbxb01022所求通解为.)(2221xexx,28例3.求解定解问题0)0()0()0(123yyyyyy解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故21322CC故对应齐次方程通解为1CYxeC2xeC23原方程通解为1CyxeC2xeC23由初始条件得,041143321CCC所求解为xeeyxx21414329需多少时间．试问整个链条滑过钉子米，米，另一边下垂下垂动开始时，链条的一边一无摩擦的钉子上，运一质量均匀的链条挂在108解例4.oxm8m10,,,米链条下滑了经过时间设链条的线密度为xt则由牛顿第二定律得,)8()10(22gxgxdtxdm.0)0(,0)0(,99xxgxgx即解得,1)(21)(3131tgtgeetx8,x即整个链条滑过钉子代入上式得)()809ln(3秒gt102、型xxPxxPexfnlxsin)(~cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步求出如下两个方程的特解ximexPyqypy)()(yqypy分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点ximexP)()(11第一步利用欧拉公式将f(x)变形xexf)(ixPxPnl2)(~2)(xie)(ixPxPnl2)(~2)(xie)(ximexPxf)()()(ximexP)()(ximexP)()(ximexP)()(则令,,maxlnm)(xPl2xixiee)(~xPnieexixi212第二步求如下两方程的特解i是特征方程的k重根(k=0,1),ximkexQxy)(1)())((次多项式为mxQm故ximexPyqypy)(111)()()(等式两边取共轭:ximexPyqypy)(111)(1y这说明为方程③的特解.ximexPyqypy)()(②ximexPyqypy)()(③设则②有特解:13第三步求原方程的特解利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:11*yyyxkexximximeQeQ原方程yqypyxxPxxPenlxsin)(~cos)(xkex)sin(cosxixQm)sin(cosxixQmxkexxRmcosxRmsin~mmRR~,其中均为m次多项式.14第四步分析的特点yxRxRexyyymmxksin~cos11因11yy*yy所以mmRR~,因此均为m次实多项式.11yyy本质上为实函数,11yy15小结:xxPxxPenlxsin)(~cos)(对非齐次方程yqypy),(为常数qpxRxRexymmxksin~cos*则可设特解:其中为特征方程的k重根(k=0,1),i上述结论也可推广到高阶方程的情形.16例5.的一个特解.解:本题特征方程,2,0故设特解为不是特征方程的根,代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl,0)(~xPn比较系数,得9431,da于是求得一个特解13a043cb03c043ad0cb17例6.的通解.解:特征方程为,092r其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为)3sin33cos5(*xxxy代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为为特征方程的单根,)3sin33cos5(xxx因此设非齐次方程特解为18例7.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根xexyyxsin3)2()4(利用叠加原理,可设非齐次方程特解为)sincos(xkxdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:19当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例8质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxo解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).(1)自由振动方程：成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.0dd2dd222xktxntx(2)强迫振动方程：tphxktxntxsindd2dd22220例9求物体的运动规律.解:问题归结为求解无阻尼强迫振动方程tphxktxsindd222•当p≠k时,齐次通解:tkCtkCXcossin21)(sintkAtpbtpaxcossin非齐次特解形式:0,22bpkha因此原方程④之解为上例中若设物体只受弹性恢复力f,sin的作用ptHF和铅直干扰力xox代入④可得:④21当干扰力的角频率p≈固有频率k时,)(sintkAxtppkhsin22自由振动强迫振动!22将很大振幅pkh•当p=k时,)cossin(tkbtkatx非齐次特解形式:代入④可得:khba2,0方程④的解为22若要利用共振现象,应使p与k尽量靠近,或使)(sintkAxtktkhcos2随着t的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象.可无限增大,若要避免共振现象,应使p远离固有频率k;p=k.自由振动强迫振动xox对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.23内容小结xmexPyqypy)(.1为特征方程的k(＝0,1,2)重根,xmkexQxy)(*则设特解为]sin)(~cos)([.2xxPxxPeyqypynlx为特征方程的k(＝0,1)重根,ixkexy*则设特解为]sin)(~cos)([xxRxxRmm3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.24思考与练习时可设特解为xy*xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2时可设特解为提示:xdcxsin)(1.(填空)设]sin)(~cos)([xxRxxRmm252.求微分方程xeyyy44的通解(其中为实数).解:特征方程,0442rr特征根:221rr对应齐次方程通解:2时,,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为2时,,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解为263.已知二阶常微分方程xecybyay有特解,)1(2xxexey求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1()2()1(比较系数得01baca201ba0a1b2c故原方程为对应齐次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解为xxeCeCy21xex27二、欧拉方程欧拉方程)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(为常数kp,tex令常系数线性微分方程xtln即28欧拉方程的算子解法:)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,tex令则xyddxttyddddtyxdd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222计算繁!tyyxddtytyyxdddd22229,ddtD记则由上述计算可知:yDyxyDyDyx22,),3,2(ddktDkkkyDD)1(用归纳法可证ykDDDyxkk)1()1()(于是欧拉方程)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybyDbyD转化为常系数线性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty即30例1.解:则原方程化为亦即其根则①对应的齐次方程的通解为特征方程①31①的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:CtBtAy2代入①确定系数,得32例2.解:将方程化为(欧拉方程)则方程化为即②特征根:设特解:,2tetAy代入②解得A=1,所求通解为33例3.解:由题设得定解问题③,tex令,ddtD记则③化为teyDDD5]4)1([teyD5)4(2特征根:,2ir设特解:④,teAy⑤代入⑤得A＝134得通解为tetCtCy2sin2cos21xxCxC1)ln2sin()ln2cos(21利用初始条件④得21,121CC故所求特解为xxxy1)ln2sin(21)ln2cos(35思考:如何解下述微分方程提示:原方程直接令tDdd记)(])1([21aefypDpDDttDdd记