山东大学高数课件1-1,2 [修复的]

1高等数学人类尚未开垦的最大疆域，是两耳之间的空间。（上册）2课前絮语1、高等数学的重要性。硕士研究生入学统考数学试卷分为三种：工学：数学一、数学二经济学和管理学：数学三–数学一：高等数学，线性代数，概率论与数理统计–数学二：高等数学，线性代数–数学三：微积分，线性代数，概率论数学一内容比例：高等数学82分线性代数34分概率论与数理统计34分32、适应初等数学到高等数学的转变。3、适应教学进度。4、适应直接面授到多媒体教学的转变。5、作业问题学无止境，勤能补拙！大学生数学竞赛（北大）4自学内容1.附录Ⅰ、Ⅱ；2.极坐标,曲线的极坐标方程；3.参数方程。5参考书目：2.《考研数学真题分类全解》清华大学胡金德作序刘建亚主审张天德主编3.《高等数学同步辅导》吴臻主审张天德主编同济大学（第六版）配套1.吉米多维奇《高等数学习题精选精解》刘建亚、吴臻主审张天德蒋晓芸主编6张天德[e-mail]•山东大学教授、研究生导师、教学能手、《高等数学》课程负责人、青年教师授课十佳•山东省优秀青年知识分子、中青年学术骨干•全国大学生数学竞赛山东赛区负责人、硕士研究生入学考试山东阅卷组组长7第一章函数与极限●初等数学是常量数学，主要研究常量。●高等数学是变量数学，主要研究变量。●函数是变量之间的依赖关系函数是高等数学的研究对象。极限的方法是研究函数的基本方法，贯穿于高等数学的始终，它是初等数学与高等数学的分水岭。因此理解函数的概念，掌握极限的理论是学好高等数学的基础。8本章先学习函数及其相关概念，介绍函数的基本性质和常见的初等函数；接着讨论数列、函数的极限，包括极限的定义和求几种不同形式极限的常用方法；然后介绍无穷小量和无穷大量，包括无穷小的比较；最后说明函数的连续性，并介绍利用连续函数的性质求解一些常见问题的方法。9第一节函数第二节初等函数函数有界性单调性周期性奇偶性初等函数分段函数复合函数集合映射10一、重要知识点：1.严格单调函数必有反函数，且严格递增（减）函数的反函数也必严格地增（减）。反之，有反函数的函数未必一定是严格单调函数。函数与反函数表示同一条曲线，若用表示自变量，表示因变量，则与的图像关于直线对称，的定义域即为的值域。)(1yfx)(xfyxy)(1xfy)(xfyxy)(1xf)(xf2.两个奇函数的和或差仍为奇函数；两个偶函数的和、差、积、商（除数不为0）仍是偶函数；两个奇函数的积与商（除数不为0）为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积与商（除数不为0）为奇函数。113.分段函数是一种特别重要的函数，它用几个的不同的解析式“分段”表示一个函数。所有解析式对应的定义域的并集是该函数的定义域。图像分段的函数不一定是分段函数，分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（曲面）。4.复合函数可由两个或多个函数相继进行有限次复合而成。但并不是任意两个函数都可以进行复合。设外层函数，内层函数，仅当外层函数的定义域与内层函数的值域的交集非空时，两个函数才能复合。如Duufy),(Exxgu),(xuuysin,22就不能复合成2sin2xy12二、几个重要的概念：1、邻域以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记为U(a).aa+a-U（a,）=（a-,a+）δ0,称集合(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域,记为U(a,δ)..,axxaUaa+a-axx0集合称为点a的去心δ邻域,记为.,aU.0,axxaU即。叫做邻域的半径。叫做邻域的中心；a13分段函数是由几个不同解析式表示的一个函数。不能把它看作多个函数。只不过在定义域的不同集合，有不同的解析式而已。几个特殊的常用的分段函数：xyO例绝对值函数00xxxxxy2、分段函数分段函数的定义域:是各个有定义的不同集合的并集。要注意各段的分界点。求分界点处的函数值要注意分界点在哪个区间。不同定义区间的自变量，按对应区间的函数表达式求函数值。14。-1。10xy0,10,0,0,1,sgnxxxxy当当当P4例1.1.4符号函数;21.34-;12.075)(的最大整数部分不超过xxy例取整函数.。.-1。。3y..。。x12123-1-2-30..-2-3.。。阶梯曲线15狄利克雷函数：是无理数当是有理数当xxxDy,0,1)(163、函数的几种特性（有界性、单调性、奇偶性、周期性）有界性：下界：2,,KxX使得都有,)(2Kxf称在上有下界。)(xfX有界：0,,MxX使得都有,)(Mxf称在上有界。)(xfX无界：,,00XxM使得,)(0Mxf称在上无界。)(xfX上界：,1K使得:都有,Xx,)(1Kxf称在上有上界。)(xfX)(xfy,DX设函数的定义域为D，数集如果数所以在（0，1）内无界。x1在（0，1）内没有上界，但有下界，任何数都是它的上界;它是一个有界函数。1是它的一个上界，而大于1的-1是它的一个下界;例如：在),(内，xsin由sin1x知，定理：在上有界在上既有上界又下界。)(xfXX)(xf174、反函数定义:设函数y=f(x)的定义域为D,值域为W则对于任意y0∈W,必定有唯一x0∈D,使x0=(y0)即：x也是y的函数，记作：x=(y)其定义域为W，值域为D.称为y=f(x)的反函数。相对于x=(y)，y=f(x)称为直接函数。注:在同一个坐标系中，x=(y)和y=f(x)的图像是同一条曲线，只不过自变量所在的坐标轴不同。习惯上，总是以x作为自变量，函数记做：y=(x),在同一个坐标系中，y=(x)和y=f(x)的图像是不同的两条曲线，它们关于直线y=x对称。185.五种基本初等函数与初等函数（1）基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。（2）初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。注：一般情况下，分段函数不是初等函数，特别的:.0,;0,xxxxxy是初等函数。因为：2xxy是2,xuuy复合而成的。19特别说明：反三角函数xyarcsinxy11O22xyarccosyx112O反三角函数：反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数xArcyxArcyxArcyxArcycottancossin20它们都是多值函数，选取其单值支，相应得到单值函数：xyarctan22Oyxxarcycot2Oyxxarcyxyxyxycot,arctan,arccos,arcsin216.双曲函数与反双曲函数2shxxeex双曲正弦：双曲函数的性态：xey21xey21xyO211shxy（1）定义域：),(（2）奇函数，图象过原点且关于（3）在),(上单调增加。（4）第一象限接近xey21xey21；第三象限接近。原点对称。22双曲余弦：,2chxxeex双曲余弦的性态：yxey21xey21xO211xych（1）定义域：),(（2）偶函数；图形过（0，1）点，关于y对称。（3）在)0,(),0(内单调减少；在内单调增加。（4）第一象限接近xey21.21xey；第二象限接近23双曲正切：.chshthxxxxeeeexxxxyO11双曲正切的性态：（1）定义域：),(（2）奇函数，图象过原点且关于（3）在),(上单调增加。（4）图像夹在直线1y1y；第三象限接近。原点对称。第一象限接近之间，当x很大时，1y24(A)25得下面若干公式：根据双曲函数的定义可1lnarsh:2xxxy反双曲正弦,1lnarch:2xxxy反双曲余弦xxxy11ln21arth:反双曲正切反函数为：双曲函数xyxyxyth,ch,sh,shshchchch,shchchshshyxyxyxyxyxyx,1shch22xxxxxchsh22sh.shch2ch22xxx双曲函数与反双曲函数都是初等函数。26三、例题（做好笔记）1.求函数的定义域例1求下列函数的定义域.45ln2;11arcsin1ln122xxyxxy解(1)由题意，应满足.111,01,012xxxx解不等式组得：2x或。1x所以函数的定义域为：,21,（2）由题意.045ln,04522xxxx解得:41x故函数的定义域为：41x27例2设，且，求的定义域。xxfexfx1,20xx解由，2xexfxexfx12知，由上面的等式解得xx1ln2又因为，所以0x.1lnxx所以的定义域为：x01,01lnxx且即.0x282.求函数解析式例3设函数xf满足xcxbfxaf1（cba,,均为常数，且ba），求.xf解令,1xt则.1tx所给等式变为：.11tctbftaf即.11xcxbfxaf解方程组xcxbfxafxcxbfxaf111得xbcxacbaxf112229例4设,1,0,1)(xf,1;1;1xxx.)(xexg求.)(xfg、)(xgf,1,0,1)(xgf,1)(;1)(;1)(xgxgxg,1,0,1,1;1;1xxxeee,1,0,1,0;0;0xxx)()(xfexfg;1xe，;11x，;11xe，解303.求复合函数的复合过程例5.写出下列函数的复合过程：)1ln(.1xyxeyarctan.2)21(sin.32xy(分解后的函数是：基本初等函数或其四则运算形式),lnuy.1xu,uey,arctanvu.xv,2uy,sinvu.21xv例6设函数2ln1arctan22xxayx，求函数的复合过程。解,arctanuy,21uuu,ln,21tuvwu,2,,2xtswavx21xs314.求反函数例7设函数,2,161221,1,21)(32xxxxxxxf求.1xf解当1x时，.212xy解得;1,121yyx当21x时，.3xy解得;81,3yyx当2x时，.1612xy解得.8,1216yyx所以反函数为,8,121681,1,121)(31xxxxxxxfy325、函数特性讨论举例（奇函数））（)x(feeee)x(f,Rxxxxx2因此，函数f(x)在R上是有界、单增的奇函数，非周期函数。（有界））（1)(,1xxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeeexfRx绝对值不等式bababa（单增）02,,,31122211211112222122121xxxxxxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeeeeexfxfxxRxxxxxxeeeexf)(例8设函数33例9常数函数：y=Cxy