CFD2011-第7讲-有限体积法1

计算流体力学讲义2011第七讲有限体积法（1）李新亮[e-mail]；力学所主楼219；82543801知识点：1讲义、课件上传至(流体中文网）-“流体论坛”-“CFD基础理论”讲课录像及讲义上传至网盘有限体积法的基本概念无粘通量及粘性通量的计算多块网格CopyrightbyLiXinliang2知识回顾：Roe格式0)(xtUfUUf(U)AUAU,0)(xUt)(ˆ)(ˆ1LRjjU,UfU,Uf经常记为)U,(UALR~平均斜率线性化，以平均增长率代替瞬时增长率)(12/12/1jjjffxxf0~xtUAU[j,j+1]区间内)U)(UU,(UA)f(U)f(ULRLRLR~连续，且可通过相似变换对角化)(~UAU)(U,A)U,(UALR~)U,(UALR~应当具有的性质)U,(UALR~11/2jSSRLRL11f[f(U)f(U)](UU)22常系数方程的Riemann解RULU()/2()/2()/2LRLLRRLLRRuuuHHHCopyrightbyLiXinliang3知识回顾2：LU-SGS0yxt(U)f(U)fU21011yxtnn)(Uf)(UfUU21n1nn1nnUUQ][])()([21212111yxtyxtnnnnnnffffffQnRHSBQAQQntyxtnn][1,,11,,1ijijijijijijijijijijijabcdeQQQQQRULDLUD1)()(1UDDLDRHSQQAQQAQtBytxtBytxtytxtjijijijijijijijiBAij][][]1[1,1,,1,11,1,,1,1**Step1:求解1,,1ijijijijijijijadeQQQR1,,1()/ijijijijijijijdeaQRQQ111111/aQRStep2:求解1,,1ijijijijijijijijabcaQQQQ1,,1()/ijijijijijijijijabcaQQQQ/mnmnmnaQRCopyrightbyLiXinliang4§7.1结构网格有限体积法有限体积法主要优势：处理复杂网格差分法处理复杂外形——坐标变换),,(),,(),,(zzyyxx321321ˆˆˆˆˆˆˆVVVffftU)(ˆ32111fffJfzyx),,(),,(1zyxJ坐标变换函数必须足够光滑——否则损失精度实际问题：外形复杂，光滑的结构网格生成困难差分法有限体积法优点简单、计算量小、易于提高精度本身包含几何信息，易处理复杂网格不足差分离散与几何解耦，难以处理复杂网格复杂、不易提高精度CopyrightbyLiXinliang51.基本概念1）控制体节点（中心）型控制体与网格型控制体CopyrightbyLiXinliang62）积分型控制方程vvtxyxy1212F(U)F(U)F(U)F(U)U在控制体上积分110IJvIJIJdsdsUFnFnt1IJIJUUdV物理含义：控制体内总质量/动量/能量的增加=穿过控制体边界流入的净质量/动量/能量无粘通量粘性通量CopyrightbyLiXinliang7n2122()()()xyxxnnxnynuuvuupFnFnnnuvvpEpuEpvuuupnvupnEpuFnnFn物理含义：单位时间内，无粘流动流过垂直于n方向的单位面积的质量、动量和能量nxyuunvn法向速度CopyrightbyLiXinliang83）有限体积法中物理量的含义1IJIJUUdV4）残差11RIJIJvIJIJdsdsUFnFnt残差=净通量=右端项含义：控制体内的平均量（平均质量密度、平均动量密度、平均能量密度）控制体几何中心处的当地密度、动量密度、能量密度二阶精度近似CopyrightbyLiXinliang92.无粘通量的计算dsFn常用方法（流过AB边的通量）：a.利用周围点的值，计算出(I+1/2,J)点处的物理量；b.利用该处的物理量，计算出流过AB边的流通量方法1：中心型有限体积法1/2,,1,12IJIJIJUUU人工粘性项1/2,1/2,()IJIJvisFFUCopyrightbyLiXinliang10方法2：迎风型有限体积法Step1:利用（偏）左侧点及（偏）右侧点的值，计算出I+1/2,J点的值1/2,1,,1,(,,)LLIJIJIJIJUgUUU1/2,,1,2,(,,)RRIJIJIJIJUgUUU计算方法：与差分法完全相同各种差分格式，均可直接使用也称为“差分格式”0uuatx1/21/21iiiuuuxx1/21/20:......0:......iiauau该过程称为“重构”（很多文献中称为“插值”）有限体积与有限差分共通之处,可直接使用差分格式CopyrightbyLiXinliang11常见的差分格式：1/2111/211211/2minmod(,)1/2minmod(,)LIIIIIIRIIIIIIUUUUUUUUUUUU2阶NND格式minmod(a,b):a,b符号相反时取0，符号相同时取绝对值小的1/2111/212(52)/6(25)/6LIIIIRIIIIUUUUUUUU3阶迎风1/211111/4(1/3)()(1/3)()LIIIIIIUUssUUsUU3阶MUSCL格式111221112()()()()IIIIIIIUUUUsUUUU1/21222121/4(1/3)()(1/3)()RIIIIIIUUssUUsUU1212221212()()()()IIIIIIIIUUUUsUUUUTVD,WENO,GVC,保单调格式……610CopyrightbyLiXinliang12重构方式：原始变量、守恒变量及特征变量以NND格式为例：1/2111/211211/2minmod(,)1/2minmod(,)LIIIIIIRIIIIIIUUUUUUUUUUUU守恒变量重构uUvE1/2111/211211/2minmod(,)1/2minmod(,)LIIIIIIRIIIIIIqqqqqqqqqqqq原始变量重构uqvp1/2111/211211/2minmod(,)1/2minmod(,)LIIIIIIRIIIIIIVVVVVVVVVVVV特征变量重构1/2(1,0,1,2)IkIIkVSUk先算出UI+1/2(可用UI和UI+1的算术平均或Roe平均），再利用该值算出SI+1/211/21/21/211/21/21/2LLIIIRRIIIUSVUSV（称为数值流通量）的含义CopyrightbyLiXinliang13重要概念澄清：重构与插值0)(xuftuA.有限差分法：xffxfjjj2/12/1ˆˆj+1/2切线j-1/2jj-12/1ˆjf)(2/1jxf2/1jf2/1ˆjf注意：与f在xj+1/2点的值含义不同！2/1ˆjf用周围几个点的值计算的过程称为“重构”，不能理解为用来插值2/1ˆjfjfjf)(2/1jxf记号确实容易混淆，让人容易联想起。记为更好些2/1jf)(2/1jxf2/1ˆjf否则，最高只能达到2阶精度了！是控制体内的平均值（称为数值流通量）的含义CopyrightbyLiXinliang14重要概念澄清：重构与插值0)(xuftuB.有限体积法：02/12/1xfftujjjj+1/2j-1/2)(2/12/1jjxff2/1jf2/1))((2/12/1jxxjjfxuff确实为f在xj+1/2点的值！通常做法：1）用计算出2）ju2/1ju)(2/12/1jjuff)(2/12/1jjxuuu在xj+1/2点的值！关键：是用计算（称为重构），而不是用计算（是标准的插值）；否则最高也只能达到2阶精度。ju2/1juju2/12/1)(1jjxxjdxxuxujuju1ju1ju2/1juCopyrightbyLiXinliang15Step2:利用，计算出通量n1/2,LIJU1/2,LIJU方法1：流通矢量分裂（FVS）1/21/21/2()()LRIIIUUfff方法2：通量差分分裂(FDS)通过Riemann解，获得通量可利用近似Riemann阶（Roe,HLL,HLLC)11/2RLRLISS11f[f(U)f(U)](UU)22Roe格式：1111,,,pvu2222,,,pvuxyx’y’方法3：AUSM方法压力项单独处理，其余项类似VanLeer分裂CopyrightbyLiXinliangn小技巧：利用局部坐标系，计算通量时简化为1维问题ABx'yxy1111,,,pvu2222,,,pvuyx’y’uvpuvpx'y1111,,,uvp2222,,,uvp“扩展的”一维问题xx,y坐标系下的Riemann问题（二维）x’,y’坐标系下的Riemann问题（一维）x’,y’坐标系下，切向速度v’表现相当于被动标量CopyrightbyLiXinliang173.粘性通量的计算110IJvIJIJdsdsUFnFnt1111211120()PrRevpUCTuvxF1222212220()PrRevpUCTuvyFjidivVxujixuxuiiijjiij),322(),(关键问题：计算yx,,,uvT对的导数同样计算CopyrightbyLiXinliang18方法1.利用Jacobian变换yx,1/2,1/2,xxIJIJx1,,1/2,IJIJIJ1/2,11/2,11/2,,11,1,11,11214IJIJIJIJIJIJIJxyxyJyJxJyJxJxyyx,xy,1/2,1/2,y