对顶角垂直同位角内错角同旁内角同步练习

第1页共6页对顶角、垂线、三线八角、邻补角一、基础知识点：1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。2.相交：在同一平面内，有一个公共交点的两条直线称为相交线。3.邻补角：（1）定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。（2）性质：位置——互为邻角数量——互为补角（两角之和为180°）4.对顶角：（1）定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角（2）性质：对顶角相等几何语言：∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°∴∠1=∠3（同角的补角相等）5、邻补角和对顶角的区别和联系图形顶点边的关系大小关系对顶角∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。∠3+∠4=180°注意：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角.⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。概念巩固1、如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝50°，求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数.解：∵∠BOD与∠AOC是对顶角∴＝＝°（）∵与是邻补角∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－50°＝130°∵与是对顶角∴∠BOC＝∠AOD＝130°（）2、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC.已知∠BOE=65°,求∠AOD、∠AOC的度数.124350OADCBE65OADCB第2页共6页【基础知识点】6、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。几何语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。7、垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。BABAPP8、点到直线的距离（1）定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离如图，PO⊥AB，点P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。（2）应用：现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。9、“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”联系与区别⑴垂线与垂线段的区别：区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)⑵两点间距离与点到直线的距离区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。概念巩固1、下列说法中正确的是（）A．有且只有一条直线垂直于已知直线。B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。C．互相垂直的两条直线一定相交。D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm。2、如图，计划把河水引到水池A中，先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_________________________________________.ABCDOPABO第2题第3题第4题第5题PBA第3页共6页3．如图，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝______．4、如图，OA⊥OB，OC⊥OD，垂足均为O．则∠BOC＋∠AOD等于…………（）（A）150°（B）160°（C）170°（D）180°5．如图，如果D是BC的中点，那么B、C两点到直线AD的距离相等．试写出已知，求证，并补全图形（不证明）．【基础知识点】1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b。2、两条直线的位置关系（1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。（2）因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）（3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）3、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行如左图所示，∵b∥a，c∥a∴b∥c注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。5、三线八角两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如图，直线ba,被直线l所截①∠1与∠5在截线l的同侧，同在被截直线ba,的上方，叫做同位角（位置相同）②∠5与∠3在截线l的两旁（交错），在被截直线ba,之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）③∠5与∠4在截线l的同侧，在被截直线ba,之间（内），叫做同旁内角。④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。6、如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。abcabl12345678第4页共6页例如：如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8。我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角。概念巩固练习1、如图，∠1的内错角是，它们是直线、被直线所截得的；∠1的同位角是，它们是直线、被直线所截得的；∠1的同旁内角是，它们是直线、被直线所截得的；2．如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是…………………………………（）（A）①、②、③（B）①、②、④（C）②、③、④（D）①、②、③、④3、如图，图中的同位角共有………………………………………………………（）（A）6对（B）8对（C）10对（D）12对二、巩固练习：1、下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（）A．0B．1C．2D．3121212122．三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对，交于不同三点时，对顶角有n对，则m与n的关系是A．m=nB．m＞nC．m＜nD．m+n=103．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD=38°，则∠AOC=，∠COB=。ODECBA4．如图，直线AB、CD相交于点O，∠1－∠2=64°，则∠AOC=______.5、如图，直线AB、CD相交于O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1=50°，求∠COB、∠BOF的度数.16BAD2345789FECABF21ABC17ABCD26ADBF1第1题第2题第3题第3题第4题第5页共6页三、课后练习1、判断题（1）．把一个角的一边反向延长，则可得到这个角的邻补角……………………………（）（2）．对顶角相等，但不互补；邻补角互补，但不相等…………………………………（）（3）．平面内两条不平行的线段．．必相交…………………………………………………（）（4）、在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行……………………………（）（5）、在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行……………………………（）（6）、在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一之一相交…………………………（）（7）、在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交。…………………………（）（8）．若∠A与∠B互补，则∠A＋∠B＝180°…………………………………………()（9）．若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠3互补……………………………()（10）．若∠AOB＋∠BOC＝180°，则点A、O、C必在同一直线上……………………()（11）．若∠α＋∠β＋∠γ＝90°，则∠α、∠β、∠γ互余…………………………()（12）．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行…………………………………()（13）．在同一平面内的两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等…………………()2、如图，直线AB、CD相交于点O，∠1＝∠2．则∠1的对顶角是_____，∠4的邻补角是______．∠2的补角是_________．3、如图，直线AB和CD相交于点O，OE是∠DOB的平分线，若∠AOC＝76°，则∠EOB＝_______．4、如果同一平面内，a∥b，b与c交于点P，那么a与c的关系是______________.5、20°角的余角的71等于_______，30°角的余角的121的补角=______.6、平面内三条不同直线相交，最多能构成对顶角_________对。7、A、O、B是一条直线上的三点，已知∠BOC比∠AOC大24°，则∠BOC＝______度8、下列说法正确的有()①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；③两条射线或线段平行，是指他们所在的直线平行；④不相交的两条射线不一定平行A.0个B.1个C.2个D.3个9、一人从A点向北偏东60°方向跑了100m到B点，然后依原道跑回，此时对于B点跑回的正确方向是A.南偏北30°B.南偏西60°C.北偏西120°D.北偏西30°10、和一个已知点P距离等于2厘米的直线可画（）条．A．1B．2C．3D．无数11、点P是直线l外一点，点A、B、C是直线l上三点，且PA＝10，PB＝8，PC＝6，那么点P到直线l的距离为（）．A．6B．8C．小于6的数D．不大于6的数12、下列判断正确的个数是_____个。⑴如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。⑵如果两个角有共公顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角。⑶对顶角的平分线在同一条直线上。⑷以同一个角为邻补角且不重合的两个角是对顶角。13、一个角的补角与这个角的余角的度数比为3:1，求这个角的度数。14、从钝角∠AOB的顶点引射线OP⊥OA,若∠BOP:∠AOP=2:3,则∠AOB=_________.第3题第2题第6页共6页15、如图1,直线AB,CD交于点O,EO⊥AB,O为垂足,OF平分∠AOC,且∠EOC=52∠AOC,则∠DOF的度数为___________-16、如图2，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30，∠2=50，则∠3=______．17.如图3,∠ACB=90,CD⊥AB垂足为D,则下面的结论中,正确的个数为()①AC与BC互相垂直②CD与BC互相垂直③点B到AC的垂线段是线段CA④点C到AB的距离是线段CD⑤线段AC的长度是点A到BC的距离(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个18、下列语句正确的是()A.相等的角为对顶角B.不相等的角一定不是对顶角C.不是对顶角的角都不相等D.有公共顶点且和为180°的两个角为邻补角19、两条相交直线与另外一条直线在同一平面内,它们的交