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1第十四讲参数估计本次课结束第五章并讲授第六章点估计下次课讲授区间估计并结束第六章,讲授第七章假设检验第一节下次上课时交作业:P61—P62重点:点估计难点:点估计的计算2服从正态分布,,nN2niiXnX111.样本均值即nNX2,~2.统计量.1,0~NnXu3.统计量.1~ntnSXt五、单个正态总体统计量的分布定理:,,~2NX设总体则:4.统计量nXnii21222~1或独立且:与样本方差样本均值1~)1(.522222nSnSX)1(~12122nXXnii标准变量的分布样本均值的平方的和的分布样本的标准变量第十三讲:中心极限定理数理统计基本知识3,,~2NX设总体抽取容量为9的样本,求样本均值与总体之差的绝对值小于2的概率,如果X(1)若已知σ=4;(2)若σ未知,但已知样本方差的观测值.45.182s例题13-5-12XP94294XP5.1||uP5.15.18664.0解Oxftxt(1)),1,0(~94NXu第十三讲:中心极限定理数理统计基本知识480.0210.018~9/45.18tXt(2)2XP9/45.1829/45.18||XP397.11tP)397.1|(|tP397.121tP397.1)8(10.0t查表得:(1);12801612iiXP,求已知,2,~2NX设总体抽取容量为16的样本.1001612iiXXP,求未知(2)例题13-5-2第十三讲:中心极限定理数理统计基本知识5(2),15~212)116(2161222222iiXXS解16122221)16(~21iiX(1)1612128iiXP161222212821iiXP)32(21P)32(121P99.001.011612100iiXXP161222210021iiXXP)25(22P)25(122P95.005.010.32)16(201.00.25)15(205.00.250.32xxf2O01.0205.02第十三讲:中心极限定理数理统计基本知识6五、两个正态总体的统计量的分布从总体X中抽取容量为的样本1n1,,,21nXXX从总体Y中抽取容量为的样本2n2,,,21nYYY假设所有的试验都是独立的,所以样本1,,2,1niXi及都是相互独立的.2,,2,1njYj样本均值:,1111niiXnX2121njjYnY样本方差:11212111niiXXnS21222211njjYYnS第十三讲:中心极限定理数理统计基本知识定理6,,~211NX设总体,,~222NY则.1,0~22212121NnnYXU7.,~22212121nnNYX.,~1211nNX证:.,~2222nNY.标准化即得结论将YX第十三讲:中心极限定理数理统计基本知识推论,,~21NX设总体22,~NY则.1,0~112121NnnYXU212111nnSYXTw,221nnt~定理7,,~211NX设总体,,~222NY则其中2)1()1(21222211nnSnSnSw8.1,0~22212121NnnYXU证:)2(~)1()1(212222221122212nnSnSn独立,与又2221SS)2(~112212121212nntSnnYXnnUw);1(~)1(),1(~)1(2222222212221121nSnnSn独立,与21SX独立,与22SY∴统计量U与也是独立的。2第十三讲:中心极限定理数理统计基本知识9定理8),(~2122212221112121nnFnYnXFnjjnii,,~211NX设总体,,~222NY则),(~11212121211nXnii证:)(~12212222222nYnjj独立,与又jiYX独立,与2221),(~2122212221112122212121nnFnYnXnnFnjjnii第十三讲:中心极限定理数理统计基本知识定理9则,,~211NX设总体,,~222NY10),1(~1122121121nSn证:独立,与又2221SS)1(~1222222222nSn独立,与2221)1,1(~)1()1(2122222121222121nnFssnnFP2第十三讲:中心极限定理数理统计基本知识)1,1(~2122222121nnFSSF的样本,求与容量为中分别抽取与,从总体,设810)2,10(~)5,20(~2122nnYXNYNX);6()1(YXP).23()2(2221SSP例题13-5-11131063106YXPYXP9896.0)31.2()31.2(1)31.2(UPUP第十三讲:中心极限定理数理统计基本知识解.1,0~31082105102022NYXYXU(1)(2))7,9(~25222221FSSF232221SSP222222212/15/232/5/SSP95.005.01)68.3(1)68.3(FPFP12例:若总体X的分布函数为F(x,θ),而θ未知,如何利用总体,,,,21nXXX样本对θ进行估计。是未知参数。两个参数,本例、方差其分布函数含有均值例如:设总体aaNX),1,(~,时当aXnXnPnii11,的估计。可以作为aX,,,,ˆ21nXXX取样本的一个函数则称未知参数θ的估计值,是θ的点估计量。nXXX,,,ˆ21定义:如果以它的观测值作为而称其观测值nxxx,,,ˆ21是θ的点估计值。背景:若总体X的分布类型已知,而未知的仅仅是其中的一个或几个参数,如何对总体分布的参数作出估计。参数估计一、点估计1.参数估计定义第十四讲参数估计132.求点估计值的方法——矩估计法kkXEX)(为X的k阶原点矩。复习矩定义:设X是随机变量,则称.1,,,121nikiknxnmkkXxxx阶矩。记作:本次幂的平均值被称为样每一个观测值的的样本观测值,则为总体样本矩定义:设值样本原点距的算术平均样本矩实际上是所有的法则这种方法称为矩估计,个方程:阶矩,得出阶矩估计总体的样本的个未知参数,则可用总体有矩估计方法:如果一个rkvxnmrkkrknikik,,2,111第十四讲参数估计14.,,,,0],0[21的矩估计值求如果取得样本观测值为是未知参数,上服从均匀分布,其中在区间设总体nxxxX例题14-1-1解:因为总体X的概率密度其它,00,1);(xxf2)()(01dxxXEX)()(111xEXvxnnii,因此一个方程:总体只有一个参数2)(111XvXnnii=),()(1XEX222)()(XEXDXEX特别提示:第十四讲参数估计15因此解得θ的矩估计量XXnnii22ˆ1而θ的矩估计值就是xxnnii22ˆ1设总体X服从正态分布,其中μ及σ是未知参数。如果取得样本观测值为,求参数μ及σ的矩估计值。2,Nnxxx,,,21例题14-1-2,)()(1XEX解:22222)()(XEXDXEX;1211XXnnii阶矩:阶与它们分别等于样本.11222niiXn21221niiXn2121XXnnii第十四讲参数估计16.~)(.22阶中心矩的矩估计值就是样本二总体方差XD.与方差存在都成立,只要它的均值以上结论对任何总体X;)(.1xXE的矩估计值是样本均值总体均值[注],~2得μ及σ的矩估计值为,ˆx21221ˆxxnnii3.求点估计值的方法——最大似然法的。的等式关系来估计参数就是利用这种最大可能我们发生的可能性最大,则若个,其中根据其分布的结果有出现一次随机试验中,可能最大似然法的思想:在).,(),,,,(max),,,,(,,,APCBAPACBAPCBA第十四讲参数估计17是,其中的概率为)定义:设离散总体();(1xpxX为似然函数即),(),(),(),,,(,),()(2122111nnnniixpxpxpxXxXxXPxpL称:是一组样本观测值,则未知参数,nxxx,,,21为最大似然估计值。称)(max)ˆ(LL的最大似然函数类似可定义连续总体X称:是一组样本观测值,则未知参数,nxxx,,,21为似然函数即),(),(),(),,,(,),()(2122111nnnniixfxfxfxXxXxXfxfL是,其中的概率密度为)定义:设总体();(2xfxX为最大似然估计值。称)(max)ˆ(LL第十四讲参数估计18(3)求似然函数L(θ)的最大值.0)()(maxddLL满足:假定不需检验,即确定最大值。这里我们为零的点来可通过求驻点,即导数在微积分中我们知道,是离散变量样本观测值对应,尤其似然函数时一定注意和以,求观测值的似然函数,所注意:似然函数是样本0)(ln)(maxlnlnLLzzzz满足:因此在同一点取得最大值,和是递增的,容易证明的对数我们还知道:一个变量第十四讲参数估计19设总体X服从泊松分布P(λ),其中λ为未知参数。如果取得样本观测值为,求参数λ的矩(最大似然)估计值。nxxx,,,21例题14-1-3得λ的矩估计值为xˆniiXn11(1)令,)(XE(2).!exxXPx.!11nniixexniiexniixi1!似然函数Lln1niix)(lnLniix1!lnn0nxnii11dLd)(ln令得λ的极大似然估计值为xniixn11ˆ第十四讲参数估计20设总体X服从指数分布,概率密度为0.x,00;x,;当当xexf,,,,21nxxx求参数λ的矩(最大似然)估计值.其中λ为未知参数。如果取得样本观测值为例题14-1-4niixne1(2)似然函数nixie1L.1niixlnn)(lnL解XniiXn111(1)1)(XE令得λ的矩估计值为x1ˆ第十四讲参数估计01niixn令dLdln2
本文标题:最大似然估计值
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