北大高代(第3版)7.3

主要内容线性变换、基与基的像第三节线性变换的矩阵线性变换的矩阵向量像的计算公式线性变换在不同基下矩阵的关系相似矩阵一、线性变换、基与基的像设V是数域P上n维线性空间，1,2,…,n是V的一组基，这一节我们来建立线性变换与矩阵的关系.首先来讨论线性变换、基与基的像之间的关系.空间V中任一向量可以被基1,2,…,n线性表出，即有=x11+x22+…+xnn(1)=x11+x22+…+xnn(1)其中系数是唯一确定的，它们就是在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在的像A与基的像A1,A2,…,An之间也必然有相同的关系：A=A(x11+x22+…+xnn)=x1A(1)+x2A(2)+…+xnA(n)(2)上式表明，如果我们知道了基1,2,…,n的像，那么线性空间中任意一个向量的像也就知道了，或者说1.设1,2,…,n是线性空间V的一组基.如果线性变换A与B在这组基上的作用相同，即Ai=Bi,i=1,2,…,n,那么A=B.证明证明A与B相等的意义是它们对每个向量的作用相同.因此，我们就是要证明对任一向量等式A=B成立.而由A=x1A(1)+x2A(2)+…+xnA(n)及假设Ai=Bi,i=1,2,…,n,即得A=x1A(1)+x2A(2)+…+xnA(n)=x1B(1)+x2B(2)+…+xnB(n)=B.证毕证毕结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面我们进一步指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是说2.设1,2,…,n是线性空间V的一组基.对于任意一组向量1,2,…,n一定有一个线性变换A使Ai=i,i=1,2,…,n.(3)证明证明我们来作出所要的线性变换.设niiix1是线性空间V的任意一个向量，我们定义V的变换A为niiix1A下面来证明变换A是线性的.综合以上两点，得定理1设1,2,…,n是线性空间V的一组基，1,2,…,n是V中任意n个向量.存在唯一的线性变换A使Ai=i,i=1,2,…,n.有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换与矩阵的联系.二、线性变换的矩阵1.定义定义7设1,2,…,n是数域P上n维线性空间V的一组基，A是V中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：.,,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaaaaaaaAAA用矩阵来表示就是A(1,2,…,n)=(A1,A2,…,An)=(1,2,…,n)A，其中.212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA矩阵A称为A在基1,2,…,n下的矩阵.(5)例1设1,2,…,m是n(nm)维线性空间V的子空间W的一组基，把它扩充为V的一组基1,2,…,n.指定线性变换A如下：Ai=i，当i=1,2,…,m,Ai=0，当i=m+1,…,n.如此确定的线性变换A称为对子空间W的一个投影.不难证明投影A在基1,2,…,n下的矩阵是00111m行m列这样，在取定一组基之后，我们就建立了由数域P上的n维线性空间V的线性变换到数域P上的nn矩阵的一个映射.结论结论11设设11,,22,,……,,nn是线性空间是线性空间VV的一组基的一组基..如果线性变换如果线性变换AA与与BB在这组基上的作用相同，在这组基上的作用相同，AAii==BBii,,ii=1,2,=1,2,……,,nn,,那么那么AA==BB..结论结论22设设11,,22,,……,,nn是线性空间是线性空间VV的一组基的一组基..对于任意一组向量对于任意一组向量11,,22,,……,,nn一定有一个线性一定有一个线性变换变换AA使使AAii==ii,,ii=1,2,=1,2,……,,nn..即即结论结论11设设11,,22,,……,,nn是线性空间是线性空间VV的一组基的一组基..如果线性变换如果线性变换AA与与BB在这组基上的作用相同，在这组基上的作用相同，AAii==BBii,,ii=1,2,=1,2,……,,nn,,那么那么AA==BB..结论结论22设设11,,22,,……,,nn是线性空间是线性空间VV的一组基的一组基..对于任意一组向量对于任意一组向量11,,22,,……,,nn一定有一个线性一定有一个线性变换变换AA使使AAii==ii,,ii=1,2,=1,2,……,,nn..即即前面的说明这个映射是单射，说明这个映射是满射.换句话说，我们在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表现在它保持运算，即有2.性质定理2设1,2,…,n是数域P上n维线性空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换按AA((11,,22,,……,,nn)=()=(AA11,,AA22,,……,,AAnn))=(=(11,,22,,……,,nn))AA，，其中其中111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaa矩阵矩阵AA称为称为AA在基在基11,,22,,……,,nn下的矩阵下的矩阵..(5)(5)公式公式(5)(5)对应一个nn矩阵.这个对应具有以下的性质：1)线性变换的和对应于矩阵的和；2)线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3)线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4)可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.证明设A，B是两个线性变换，它们在基1,2,…,n下的矩阵分别是A，B，即A(1,2,…,n)=(1,2,…,n)A，B(1,2,…,n)=(1,2,…,n)B.1)由(A+B)(1,2,…,n)=A(1,2,…,n)+B(1,2,…,n)=(1,2,…,n)A+(1,2,…,n)B=(1,2,…,n)(A+B).可知，在1,2,…,n基下，线性变换A+B的矩阵是A+B.2)相仿地，(AB)(1,2,…,n)=A(B(1,2,…,n))=(A(1,2,…,n)B)=(A(1,2,…,n))B=(1,2,…,n)AB.因此，在1,2,…,n基下，线性变换AB的矩是AB.3)因为(k1,k2,…,kn)=(1,2,…,n)kE.所以数乘变换K在任何一组基下都对应于数量矩阵kE.由此可知，数量乘积kA对应于矩阵的数量乘积kA.4)单位变换E对应于单位矩阵，因之等式AB=BA=E与等式AB=BA=E相对应，从而可逆线性变换与可逆矩阵对应，而且逆变换与逆矩阵相应.证毕定理2说明数域P上n维线性空间V的全部线性变换组成的集合L(V)对于线性变换的加法与数量乘法构成P上一个线性空间，与数域P上n级方阵构成的线性空间Pnn同构.利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的像.三、向量像的计算公式定理3设线性变换A在基1,2,…,n下的矩阵是A，(x1,x2,…,xn)，标(y1,y2,…,yn)可以按公式nnxxxAyyy2121计算.向量在基1,2,…,n下的坐标是则A在基1,2,…,n下的坐证明由假设.),,,(2121nnxxx于是nnxxx2121),,,(AAAAnnxxx2121),,,(AAAA.),,,(2121nnxxxA另一方面，由假设.),,,(2121nnyyyA由于1,2,…,n线性无关，所以.2121nnxxxAyyy证毕线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起一般来说，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，我们有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.的，四、线性变换定理4设线性空间V中线性变换A在两组基1,2,…,n，(6)1,2,…,n(7)下的矩阵分别为A和B，从基(6)到(7)的过渡矩阵是X，于是B=X-1AX.在不同基下的矩阵的关系证明已知(A1,A2,…,An)=(1,2,…,n)A，(A1,A2,…,An)=(1,2,…,n)B，(1,2,…,n)=(1,2,…,n)X.于是(A1,A2,…,An)=A(1,2,…,n)=A[(1,2,…,n)X]=[A(1,2,…,n)]X=(A1,A2,…,An)X=(1,2,…,n)AX=(1,2,…,n)X-1AX.=(1,2,…,n)X-1AX.由此即得B=X-1AX.证毕定理4告诉我们，同一个线性变换A在不同基下的矩阵之间的关系.这个基本关系在以后的讨论中是重要的.现在，我们对于矩阵引进相应的定义.五、相似矩阵1.定义定义8设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=X-1AX,就说A相似于B，记作A~B.2.性质相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：1)反身性：A~A.这是因为A=E-1AE.2)对称性：如果A~B，那么B~A.如果A~B，那么有X使B=X-1AX.令Y=X-1就有A=XBX-1=Y-1BY，所以B~A.3)传递性：如果A~B，B~C，那么A~C.已知有X，Y使B=X-1AX，C=Y-1BY.令Z=XY，就有C=Y-1X-1AXY=Z-1AZ，因此A~C.矩阵的相似对于运算有下面的性质.4)若B1=X-1A1X，B2=X-1A2X，则B1+B2=X-1(A1+A2)X；B1B2=X-1(A1A2)X.5)若矩阵A与矩阵B相似,且矩阵A可逆,则矩阵B也可逆,且A-1与B-1相似.即A-1与B-1相似.证明证明因为矩阵A与矩阵B相似,即存在可|B|=|X-1AX|=|X-1||A||X|=|A|.所以,当|A|0时,必有|B|0,即A可逆时,B也可逆.设X为可逆矩阵,且B=X-1AX,则B-1=(X-1AX)-1=X-1A-1X,矩阵X使得B=X-1AX，于是证毕证毕g(A)与g(B)相似.6)若矩阵A与B相似,k是常数,m是正整数,g(x)=a0xm+a1xm-1+…+am,则kA与kB相似,Am与Bm相似,有了矩阵相似的概念之后，定理定理44设线性空间设线性空间VV中线性变换中线性变换AA在两组在两组基基11,,22,,……,,nn，，(6)(6)11,,22,,……,,nn(7)(7)下的矩阵分别为下的矩阵分别为AA和和BB，，从基从基(6)(6)到到(7)(7)的过渡矩的过渡矩阵是阵是XX，，于是于是BB==XX--11AXAX..可以补充成：定理5线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.证明证明前一部分已经为定理4证明.现在证明后一部分.设n级矩阵A和B相似.A可以看做是n维线性空间V中一个线性变换A在基1,2,…,n下的矩阵.因为B=X-1AX，令(1,2,…,n)=(1,2,…,n)X.显然，1,2,…,n也是一组基，A在这组基下的矩阵就是B.证毕证毕例2设V是数域P上一个二维线性空间，线性变换A在基1=(1,0),2=(0,1)下的