73第五章大数定律与中心极限定理

大数定律在大量的随机现象中，随机事件的频率具有稳定性大量的随机现象的平均结果具有稳定性概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律（lawoflargenumber)切比雪夫（Chebyshev)不等式设随机变量X具有有限数学期望EX和方差DX，则对于任意正数，如下不等式成立。2DXPXEX——切比雪夫不等式证明设X为连续型随机变量，其密度函数为()fx则()xEXPXEXfxdx22()()xEXxEXfxdx222()()xEXDXfxdx证毕切比雪夫不等式的等价形式：221DXEXXP方差刻画了随机变量的离散程度切比雪夫（Chebyshev)不等式的应用在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估值。例已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200~9400之间的概率。解设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则7300,()700EXXDX则5200940073002100PXPX173002100PX2270017300210021009PX而8520094009PX所以设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率7.5PXEX练习设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率7.5PXEX解22.57.57.5PXEX17.522.5PXEX贝努里大数定理（频率的稳定性）定理设是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数恒有n定理的应用：可通过多次重复一个试验，确定事件A在每次试验中出现的概率()npPAn1limpnuPnn•证明：un~b（n,p)所以，E(un)=np,D(un)=np(1-p)E(un/n)=p,D(un/n)=p(1-p)/n由切比雪夫不等式11,))1((11)(11)(lim22pnuPnnpppnuPnuDnuEnuPnnnnnn，得并考虑概率不能大于令即样本平均数稳定性定理定理设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立，且服从同一分布，并具有数学期望及方差，则对于任意正数，恒有211lim0niniPXn11lim1niniPXn观测量X在相同的条件下重复观测n次，当n充分大时，“观测值的算术平均值接近于期望”是一大概率事件。即11niixn依概率收敛于即n充分大时，11niixxn——辛钦大数定理中心极限定理（Centrallimittheoem)客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。独立同分布的中心极限定理设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分布，且有有限的数学期望和方差，则随机变量的分布函数满足如下极限式1niiXnYn()nFx22121lim()lim2ntixinnnXnFxPxedtn定理的应用：对于独立的随机变量序列，不管服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这些随机变量之和近似地服从正态分布nX(1,2,,)iXin1niiX2,Nnn）近似服从1,0(1NnnuXnii例一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2mm，均方差是0.05mm，规定总长度为20±0.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。解设部件的总长度为X，每部分的长度为Xi（i=1,2,…,10)，则()2iEX()0.05iX101iiXX由定理4.5可知：X近似地服从正态分布2102,100.05N即20,0.025N续解则产品合格的概率为200.119.920.1PXPX20.12019.9200.0250.0250.1210.0250.4714•推论：设X1，X2，….,Xn是独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为p的0-1分布，则对一切实数ab,有batniindtebpnpnpXaP21221)1(lim棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理(DeMoivre-Laplace)定理设随机变量服从二项分布，则对于任意区间，恒有n(,)Bnp[,]ab221lim(1)2tbnannpPabedtnpp二项分布的极限分布是正态分布即如果~(,)XBnp，则221()()(1)2tbnanpPabedtbanpp()()(1)(1)bnpanpnppnpp一般地，如果~(,)XBnp，则(1)(1)(1)anpXnpbnpPaXbPnppnppnpp例现有一大批种子，其中良种占1/6，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中良种所占的比例与1/6之差小于1%的概率是多少？解设取出的种子中的良种粒数为X，则1~(6000,)6XB所求概率为10.0160006XP9401060PX10601000940100010005610005622.078510.9625续例种子中良种占1/6，我们有99%的把握断定在6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差是多少？这时相应的良种数落在哪个范围？解设良种数为X，则1~(6000,)6XB设良种所占比例与1/6的差值为，则依题意有160006XP6000600010005610005610006000PX6000210.9910005660002.58100056查表得60000.99501000560.0124此时有100074.4X9251074X即解设100根木材中长度不短于3米的根数为X，则有一大批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从这批木材中任取100根，试求其中至少有30根短于3米的概率。~(100,0.8)XB所求概率为70PX1000.8701000.81000.80.21000.80.2XP701000.81000.80.212.50.00621