广义相对论简介

3．广义相对论的简介洛伦兹变换告诉我们，时间与空间有内在联系。“能量动量张量”的表达式和“质能关系式表明，质量与运动不可分割，真空光速不变原理和相对性原理告诉我们，一切惯性系平权。所以绝对时空的概念被Einstein抛弃了。抛弃绝对时空导致了一个新的困难：惯性系如何确定？不仅如此，万有引力不能纳入相对论的框架。在对以上两个问题的反复思考下，Einstein提出了广义相对性原理和等效原理作为建立新理论的基石。（1）狭义相对性原理一切惯性参考系都是平权的。基本物理规律在任何坐标系形式下都不变——广义协变原理。（2）一切惯性参考系内，任意参考者测量光速都是c。（3）等效原理。1907年，Einstein在《关于相对论原理和由此得出的结论》一文中，作出了关于引力对时钟的影响及引力红移的预言。他根据引力场与惯性力场等效的思想得出，一个处于引力场中的时钟，当所在点引力势为Ф时，它所指示的当地时间读数将是与它调准的不处在引力场中的同样读数的（1+Ф/c2）倍。“在这个意义上，我们可以说，在过程发生地点的引力势愈大，在时钟中发生的过程——一般说来是任何物理过程——也就进行得愈快。”[1]同样的结论在1911年4月所发表的《引力对光传播的影响》一文中也给出了。在这篇论文中，Einstein从等效原理出发，得出了光从无引力场的真空中的频率ν0到引力势为Φ中的频率ν的变化与引力势间的关系是ν=ν0(1+Φ/c2)，这与引力场中时钟读数的变化一致；同时结合波传播的惠更斯原理，得出光在经过引力场时传播方向发生朝向天体偏折的结论，偏折角为以后实际测量结果和广义相对论计算结果的一半。在这篇论文中，Einstein根据等效原理还论证了静态引力场的光速不是常数，处于引力场为Φ的场中光速为c与真空中光速c0的关系是c=c0(1+Φ/c2)。半年后，亚伯拉罕首次把这个结论推广到非静态场中，他尝试后发现把非恒定光速的思想推广到狭义相对论是不可能的。亚伯拉罕对此评论说：“c的可变性意味着洛伦兹群只能在无限小区域中成立。”这一论断后来被Einstein马上发现[2]。对于Einstein来说，1907——1908年，是广义相对论的初创阶段。直到1911年，Einstein还没有放弃牛顿的引力论，只是在旧理论上点缀了“等效原理”，弄成了东拼西凑的混合物，得出的结论在量上不可能是精确的。Einstein在1912年2月和1912年3月接连准备好了两篇关于引力的文章，提出的都是时间弯曲而空间平直的模型；还提出了光速在引力场中不是常数，等效原理只对无限小的场成立，引力场能量密度带来的引力场的非线性等观点。从1912年8月Einstein回到苏黎士以后的一年多的时间里，他与格罗斯曼合作，先后发表了三篇文章，这些文章标志着广义相对论发展过程的重要阶段。其中第一篇论文《广义相对论纲要和引力论》发表于1913年。在这篇论文中，Einstein在他的新思想与相适应的数学方法相结合上作了第一次尝试。但是，有两个问题值得注意，第一个是论文中给出的场方程KΘμν=Γμν不是普遍协变的，它的协变关系仅只在线性变换中才能成立。然而广义协变性原理却要求在任意变换下的协变性。而且，在无限弱的静止引力场的特殊条件下，场方程的一级近似应该退化为牛顿引力定律的形式。第二个问题是后来发现的，由它给出的结果不能与水星近日点进动的观测值相符。存在这两个问题的根本原因在于，Einstein为了坚持守恒定律限制了坐标系的选择，为了维护因果性，放弃了广义协变性的要求。因为他认为如果把拉普拉斯算符作用到张量gμν上时，这个算符会退化，因此要求引力场方程只对一个确定的变换群协变。同时，他还认为，对任意坐标系变换都保持协变的引力定律，与因果原理矛盾。Einstein的这个失误，使他又花了近两年的艰苦努力。在这期间，亚伯拉罕，米，诺茨屈劳姆就引力问题曾与Einstein展开了讨论，这对引力理论的发展起了重要的推动作用。诺茨屈劳姆的理论是一个标量理论，而且可以在闵可夫斯基空间中得到理解，被称为是狭义相对论性引力理论，其中空间是弯曲的，但具有平坦闵可夫斯基坐标“映象”这一人为限制。在这个理论中，引力质量正比于系统的总质量，等效原理是统计原理。不过这个理论不能预言光线在星体引力场附近的偏折。1914年，Einstein与洛伦兹的学生福寇一起发表了一篇严格遵守广义协变性要求的引力理论的简短论文，发现从绝对运算和广义协变性的要求出发，可以证明诺茨屈劳姆的理论只是Einstein—格罗斯曼理论的一种特殊情况，其标志是真空光速不变这一附加条件；Einstein—格罗斯曼理论包含着光的弯曲，而诺茨屈劳姆的理论没有光的弯曲。1.广义坐标变换设一个时空区域同时被旧坐标系3210xxxxx,,,和新坐标系3'2'1'0x'xxxx,,,'所覆盖，其中','ctxctx00，c是光速，t与t’是时间。新旧坐标之间的关系可表示为)(',,,a3210xxxxxxx'x'),,,,(3210a（1）每一个新坐标都是四个旧坐标的函数。微分（1）式，得到广义坐标变换下微分的变换关系),,,,(''3210dxxxdx（2）这里采用了Einstein惯例。（2）的逆变换为),,,,('3210dxx'xdx（3）定义在坐标变换中不变的量为标量。在广义坐标变换下，向坐标微分元一样变换的量，称为逆变矢量，),,,,(''3210AxxA（4）在广义坐标变换下，变换规律为),,,,(''3210AxxA（5）的量称为协变矢量。容易看出，逆变和协变矢量都有四个分量组成。在广义坐标变换下按)('')(')('''25Tx'xxxT24Tx'xx'xT23TxxxxT变换的量分别称为逆变张量、协变张量、混合张量。2.张量的运算：CBA（26）DBA（27）缩并运算：uBA（28）3.度规张量在四维时空中，我们把两点间的距离推广为“间隔”。在直角坐标系中，它可表示为222222dzdydxdtcds（29）间隔的平方应与坐标微元的二次方有关dxdxds2（30）但左边是标量，而右边是逆变矢量，必须让坐标微分元与一个二阶协变张量缩并dxdxgds2（31）张量g称度规张量共十六个分量，可用矩阵表示33323130232221201312111003020100gggggggggggggggg（32）它是一个对称张量gg。3、时间与空间在广义相对论中，跟据等效原理，可对时空中的任意观测者A引入相对于他瞬时静止的互补惯性系B，并仿照狭义相对论，定义静止于B系中的“真实钟”为坐标钟，它所记录的时间为惯性系中所固有的时间。由狭义相对论系B的固有时间为cidsd(33)微分几何告诉我们BAdsds（34）所以，我们可以合理的定义观测者A的固有时间图3观测者A与BBBAAdcidscidsd（35）的世界线下面我们来考察相对于某一个坐标系x静止的观测者，寻找它的坐标时间和固有时间之间的关系。由（29）和（35），不难得到此关系为dtgdxgc1dxdxgc1cidsd00000（36）在图4中，假定A与B空间相邻点，光信号从B射向A，再从A射向B，所需坐标时间为02010dxdxx)()(（37）未假定光速的各向同性，所以01dx)(不一定等于02dx)(，在B引入局部惯性系0x相应的固有时间为图4固有距离的测量000dxgc1（38）在局部惯性系中，光速各向同性等于c，因此，两相邻点的纯空间距离为000xg212cdl（39）此即用标准尺测得的纯空间距离。由),,,()(321kidxdxgdxdx2gdxg0dskiiki00i20002（40）得00kiik000k0ii0i0gdxdxggggdxgdx)(（41）00kiik000k0i0gdxdxgggg2x)(带入（38）可得kiik2ki000k0iikdxdxdldxdxggggdl（42）其中000k0iikikgggg是纯空间度规。4、短程线A、B之间的一根曲线长度可用积分给出BAdsI（43）由变分原理得到0dsBA(44)沿曲线人选一个标量参数并注意到dxdxgds2上式可写为0LdBA（45）其中拉格朗日函数L=21xxgdds)(..（46）而广义速度ddxx.将（46）带入拉格朗日方程0xLddxL.（47）可得短程线方程0ddxddxdxd22（48）它也是广义相对论中的运动方程。回到广义协变原理之后，Einstein在1915年10月与11月，集中精力探索新的引力场方程。先后于11月4日，11日，18日和25日，每周一次，一连四周向普鲁士科学院递交了四篇论文。在11月4日的论文中，他提出了废弃1913年提出的场方程的原因。这些理由在11月28日写给索末菲的信中，提得更加明确。他说：“我认识到，到现在为止，我的引力场方程是完全站不住脚的。关于这一点，有如下线索：（1）我证明了，在一个均匀转动的参照系中，引力场并不满足场方程。（2）水星近日点进动每一百年不是18″而是45″。（3）在我去年的论文中，协变的考察没有提供哈密顿函数H。如果把它加以适当推广，它就会允许任意的H，于是，要适应坐标系的协变，是徒劳无功的。在对以前的讨论结果和方法失去一切信心之后，我清楚地看到，只有与普遍的协变理论，即黎曼协变理论联系起来，才能得到令人满意的解决。”[3]摆脱了引力场方程只能在线性变换下协变的限制之后，广义相对论的进展来自于Einstein对张量的重新认识。他保留了“对泊松方程推广”的原有形式。但现在他认为牛顿引力理论的泊松方程▽2φ=4πGρ/c中的ρ，应对应于引力源体系的质量，能量，动量以及全部的有关部分，能将这些量做统一描述的只有能量张量Tμν；而牛顿引力势φ则对应于时空度规张量gμν，再根据张量的对称性，协变散度为零以及缩并的规则，最后终于找到了协变形式的引力场方程：Rμν-gμνR/2=8πGTμν/c4，其中G为牛顿引力常量，Rμν为里奇张量，R为标量曲率张量。引力场方程的左侧描述了引力场时空的弯曲性质，而右侧描述了引力源物质体系，它们在场方程中的结合，恰恰反映了马赫原理的思想。5、场方程时空曲率=能量动量（49）物质的能量动量可写成二阶张量T。时空曲率可写成R。可以把曲率张量缩并，得到一个二阶张量RRRRg（50）称Ricci张量，它是对称张量，有十个独立分量。代入（49）TR(51)用逆变张量写出就是TR（52）T应满足能量—动量守恒定律0T;（53）由333231323222121312111321TTTcMTTTcMTTTcMcScScST///（54）此式用三维空间的矢量写出来就是)()(56tMT55tS其中00T是能量密度，0iicTS是能流密度，M是动量密度，三维空间的张量ijT（i，j=1，2，3）是动量流密度。（55）、（56）分别是能量和动量守恒定律。（53）要求（52）左端满足0R;。但这一般不可能。由毕安基恒等式RgR0Rg21R;)(（57）R称曲率标量因此，如果把方程（51）、（52）改写成TRg21R（58）TRg21R(59)矛盾就消除了。这两个方程就是Einstein给出的广义相对论的基本方程——场方程。它们通常称