2019-2020学年新人教A版必修一-----5.1.2-弧-度-制---课件(57张)

5.1.2弧度制1.度量角的两种制度(1)角度制①定义:用度作为单位来度量角的单位制.②1度的角:周角的为1度角,记作1°.1360(2)弧度制①定义:以弧度为单位来度量角的单位制.②1弧度的角:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.③表示方法:1弧度记作1rad.【思考】在大小不同的圆中,长度为1的弧所对的圆心角相等吗?提示:不相等.这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1,在大小不同的圆中,由于半径不同,所以圆心角也不同.2.弧度数的计算与互化(1)弧度数的计算.(2)弧度与角度的互化.(3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π6432233456【思考】(1)角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间是如何换算的?提示:计算时我们要特别注意πrad=180°,用这个公式进行互化即可.(2)你认为式子|α|=中,比值与所取的圆的半径大小是否有关?提示:与半径大小无关,一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的.rlrl3.扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R,弧长为l,α(0α2π)为其圆心角,则(1)弧长公式:l=αR.(2)扇形面积公式:_______________211SRR.22l【思考】我们初中学过的半径为r,圆心角为n°的扇形弧长、面积公式分别是什么?提示:半径为r,圆心角为n°的扇形弧长公式为l=扇形面积公式为S扇=nr180，2nr.360【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧.()(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.()(3)160°化为弧度制是πrad.()89提示:(1)×.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角.(2)√.“1弧度的角”的大小是等于半径长的圆弧所对的圆心角,是一个定值,与所在圆的半径大小无关.(3)√.160°=160×rad=πrad.180892.(1)化为角度是________.(2)215°的弧度数是________.75【解析】(1)=252°.(2)215°=215×rad=rad.答案:(1)252°(2)rad77180()55＝180433643363.半径为2,圆心角为的扇形的面积是________.【解析】由已知得S扇=答案:6212.263＝3类型一弧度与角度的互化【典例】1.(1)将112°30'化为弧度为________.(2)将rad化为角度为________.2.已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,试比较α,β,γ,θ的大小.512－10【思维·引】利用角度与弧度的互化公式进行求解.【解析】1.(1)因为1°=rad,所以112°30'=×112.5rad=rad.(2)因为1rad=,所以rad==-75°.答案:(1)rad(2)-75°18018058180()5125180()12582.方法一(化为弧度):α=15°=15×θ=105°=105×显然故αβγθ.方法二(化为角度):β==18°,γ=1≈57.30°.显然,15°18°57.30°105°.故αβγθ.18012＝，7.18012＝71.121012＜＜＜180()1010【内化·悟】1.角度弧度互化原则是什么?提示:牢记180°=πrad,充分利用1°=rad和1rad=进行换算.180180()2.角度弧度互化有哪些方法?提示:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则αrad=α·;n°=n·.180()180【类题·通】弧度与角度的互化将角度转化为弧度时,要把带有分、秒的部分化为度之后,牢记πrad=180°即可求解.把弧度转化为角度时,直接用弧度数乘以即可.180()【习练·破】将下列角度与弧度进行互化:(1)=________.(2)10°=________.(3)-855°=________.5116【解析】(1)=×180°=15330°.(2)10°=10×(3)-855°=-855×答案:(1)15330°(2)(3)51165116.18018＝19.1804＝－194－18类型二利用弧度表示角【典例】1.将-1125°表示成α+2kπ,0≤α2π,k∈Z的形式为________.2.用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合.世纪金榜导学号【思维·引】1.先把-1125°化为弧度制,再把这个弧度制角写成α+2kπ的形式,注意0≤α2π,k∈Z.2.用弧度制表示终边相同的角的一般形式是α+2kπ,k∈Z:表示终边在阴影部分的角注意应从OB到OA.【解析】1.因为-1125°=-4×360°+315°,315°=315×所以-1125°=-8π+答案:-8π+71804＝，7.4742.330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化为弧度,即,而75°=75×所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为6－518012＝，5{|2k2k,kZ}.612【内化·悟】1.用弧度制表示终边相同的角时,应注意什么?提示:需要注意①表示一个角不能两种单位混用;②0≤α2π,k∈Z.2.用弧度表示终边落在阴影部分角的集合时,应先求哪些量?提示:先求边界所表示的角.【类题·通】1.弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形.(2)写出区域边界作为终边时角的表示.(3)用不等式表示区域范围内的角.【习练·破】1.下列与的终边相同的角的表达式中,正确的是()A.2kπ+45°(k∈Z)B.k·360°+(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z)D.kπ+(k∈Z)949454【解析】选C.A,B中弧度与角度混用,不正确;=2π+,所以与终边相同.-315°=-360°+45°,所以-315°也与45°终边相同,即与终边相同.944944942.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.【解析】因为30°=rad,210°=rad,这两个角的终边所在的直线相同,因为终边在直线AB上的角为α=kπ+,k∈Z,而终边在y轴上的角为β=kπ+,k∈Z,从而终边落在阴影部分内的角的集合为67662{|kk,kZ}.62【加练·固】已知角α=2020°.(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β2π)的形式,并指出α是第几象限的角.(2)在[-5π,0)内找出与α终边相同的角.【解析】(1)2020°=2020×rad=πrad=rad,又π角α与终边相同,是第三象限的角.180101911(52)911392，119(2)与α终边相同的角为2kπ+(k∈Z),由-5π≤2kπ+0,k∈Z知k=-1,-2,-3.所以在[-5π,0)内与α终边相同的角是11911972543.999、、类型三扇形的弧长公式及面积公式角度1利用公式求弧长和面积【典例】已知扇形的半径为10cm,圆心角为60°,求扇形的弧长和面积.世纪金榜导学号【思维·引】已知扇形的半径,圆心角,把圆心角化为弧度制,利用扇形的弧长、面积公式算出即可.【解析】已知扇形的圆心角α=60°=,半径r=10cm,则弧长l=α·r=×10=(cm),于是面积S=lr=(cm2).33103121105010233＝【素养·探】在弧度制条件下扇形的计算中,经常利用核心素养中的数学运算,需要分析题目给出的条件,准确选择公式进行计算求值.将本例中的条件改为:已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rad,则扇形的面积为________cm2.【解析】设扇形的半径为rcm,弧长为lcm,由圆心角为2rad,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8,解得r=2,则l=4.故扇形的面积S=lr=×4×2=4(cm2).答案:41212角度2利用公式求半径和弧度数【典例】扇形OAB的面积是4cm2,它的周长是8cm,求扇形的半径和圆心角.世纪金榜导学号【思维·引】设扇形的半径为rcm,圆心角的弧度数为θ,由已知列方程组,解方程组即可.【解析】设扇形圆心角的弧度数为θ(0θ2π),弧长为lcm,半径为rcm,依题意有由①②,得r=2,所以l=8-2r=4,θ==2.故所求扇形的半径为2cm、圆心角的弧度数为2rad.2r8,1r4,2ll①②rl【典例】已知扇形的周长是30,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?【思维·引】设扇形的半径为r,弧长为l,根据扇形的周长为30,用半径r表示弧长l,把面积S写成半径r的二次函数,求最值即可.【解析】设扇形的半径为r,面积为S,弧长为l,圆心角为α(0α2π),则l+2r=30,故l=30-2r,又因为S=lr=(30-2r)r=-r2+15r=所以当r=时,l=30-2×=15,所以α==2,此时扇形面积最大,最大面积为.121221522515(r)(r15)241－＋，152152rl2254【类题·通】1.扇形问题的计算技巧涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.2.弧长、面积的最值问题利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利用函数知识求最值,一般多利用二次函数的最值求解.【习练·破】已知一半径为R的扇形,它的周长等于所在圆的周长,那么扇形的圆心角是多少弧度?面积是多少?【解析】设扇形的弧长为l,由题意得2πR=2R+l,所以l=2(π-1)R,所以扇形的圆心角是=2(π-1)rad,扇形的面积是S=lR=(π-1)R2.Rl12