第5章_力法

第5章力法学习要求：1、掌握超静定结构的概念和力法的基本原理；能正确判断超静定次数，选择基本体系和基本未知量，掌握力法方程及力法方程中系数和自由项的物理意义。2、掌握用力法解在荷载作用下一次及二次超静定梁、刚架、排架的内力计算方法。3、掌握利用对称性简化力法计算的方法，能选择对称基本体系和利用半结构计算对称结构。4、初步掌握用力法计算支座移动作用引起的单跨超静定梁的内力。5、了解用力法计算温度变化引起的内力计算。一、超静定结构的概念有多余约束的几何不变体系，结构的支座反力和内力只用静力平衡条件不能确定或不能全部确定。ABPC有一个多余约束，称为一次超静定。AB有两个多余约束，称为二次超静定。多余约束中产生的约束力称为“多余未知力”。5.1概述对于一个超静定结构而言，多余约束的选取方案虽有多样性，但它们的总数目却固定不变二、超静定次数的确定结构中多余约束的数目称为结构的超静定次数。判断超静定次数的方法是去掉多余约束使原结构变成静定结构。常见的去掉多余约束方式有以下几种：1、去掉支座处的一根支杆，或切断一根链杆，相当于去掉一个约束。2、去掉一个铰支座或联结两刚片的单铰，相当于去掉两个约束。3、将固定端支座改成铰支座，或将连续杆件上的刚性联结改成单铰联结，相当于去掉一个约束。4、去掉一个固定端支座，或将刚性联结切断，相当于去掉三个约束。5、一个封闭框有三个多余约束。5.2力法原理和力法方程一、力法原理ABPCP原结构（超静定）CABPPX1基本结构（静定）CABPPCABX1＋Δ1PΔ11根据叠加原理：Δ1=Δ11＋Δ1P=0Δ1P和Δ11的第一个下标表示位移的地点和方向，第二个下标表示位移产生的原因。设当X1=1时产生的沿X1方向的位移为δ11，则上式可改写为：δ11X1＋Δ1P=0（一次超静定结构的力法方程）例：作图示梁的弯矩图和剪力图。梁的EI为常数。3m3m20kNABC解：1、取基本结构20kNABCX13、作基本结构的单位弯矩图和荷载弯矩图。2、列力法方程δ11X1＋Δ1P=020kNABCMP图（kNm)ABX1=1M1图（kNm)606δ11=EI121(×6×6×4)=EI72Δ1P=－EI1(×60×3×5)=211m5代入方程得：X1=6.25kN（）EI450－ABCABCM图（kNm）18.7522.5Q图（kN）6.2513.7513.75＋－例2：用力法作图示梁的弯矩图。EI为常数X101111PX2.列力法方程解：1.取基本结构与基本未知量EI2EIABC20kN5kN/m4m2m2m4403.作M1、MP图X1=1M1图MP图104.求系数和自由项EIP36801EI32115.求基本未知量X1=7.08kN6.叠加法绘M图11.6814.174.164X1=1M1图40MP图10M图（kNm）X1=7.08kN本题如何合理选取基本结构使解题过程更简单！20kN/mACB2EIEI6m6m3m40kND例：作图示刚架的弯矩图。EI为常数解：取基本结构与基本未知量01111PX列力法方程M1图11X1MP图21090求基本未知量：X1=2.14kNm210kNm2.14kNm2.14kNm注意：请合理选取基本结构，尽量简化计算过程！二、力法方程1、对应一次超静定结构的力法方程δ11X1＋Δ1P=Δ1式中：Δ1是与多余约束相对应的已知位移2、二次超静定ABPqEI1EI2原结构基本结构ABX1X2根据叠加原理：Δ1=Δ11＋Δ12＋Δ1P=0Δ2=Δ21＋Δ22＋Δ2P=0｝改写为：δ11X1＋δ12X2＋Δ1P=Δ1=0δ21X1＋δ22X2＋Δ2P=Δ2=0｝上式为二次超静定结构的力法方程δij的物理意义见教材144页。ABPqX1X23、力法典型方程δii—主系数，总是正的。δij—副系数，为代数量，且δij=δjiΔiP—自由项，为代数量。力法是以多余力作为基本未知量求解超静定结构的方法。δ11X1＋δ12X2＋···＋δ1nXn＋Δ1P=Δ1δ21X1＋δ22X2＋···＋δ2nXn＋Δ2P=Δ2δn1X1＋δn2X2＋···＋δnnXn＋ΔnP=Δn································5.3用力法计算超静定梁和刚架一、超静定梁的计算举例说明：例：试绘出图示超静定梁的弯矩图，设EI为常数ABEIqL解：1、选取基本结构和基本未知量BAX1X3X22、列出力法方程000333323213123232221211313212111PPpXXXXXXXXX3、计算系数和自由项画各弯矩图：281qlX1=11X21X3EIllEI332)121(111EIl322EIllEI631)121(121120332233113pEAl33EIqlqllEIP2421)8132(1321EIqlP24324、解力法方程00420423221221XEAlqlXXqlXX012112132221XqlXqlX5、作弯矩图281qlX1=11X21X3012112132221XqlXqlX由叠加原理得：2121ql2121ql2241qlM图BA281ql2、超静定刚架计算举例说明：例：用力法作图示刚架的弯距图。ACB2EIEI4m3m5kN/mACBX2X1基本结构MP(kNm)40333X1=1M1M2X2=14解：1、取基本结构2、建立力法方程δ11X1＋δ12X2＋Δ1P=0δ21X1＋δ22X2＋Δ2P=03、作基本结构的荷载弯矩图和各单位弯矩图，利用图乘法计算方程的系数和自由项。δ11=EI1(23×3×2)＋EI27=δ22=2EI1(21×4×4××4)323EI32=2EI1δ12=δ21=－2EI1(3×4×2)EI12=－Δ1p=2EI1(31×40×4×3)EI80=Δ2pEI80=－(3×4×3)4、将系数和自由项代入方程解得：X1=0.33kN()X2=6kN()5、作弯距图MP(kNm)40333X1=1M1M2X2=14M图（kNm）111710用力法计算超静定结构的步骤：1、去掉结构的多余约束得结构的基本结构，并以多余力代替相应的多余约束的作用。2、根据基本结构在多余力和荷载作用共同作用下，沿多余力方向的位移应与原结构中相应的位移相同的条件，建立力法方程。3、作出基本结构的单位内力图和荷载内力图，按照求位移的方法计算方程中的系数和自由项。4、将计算所得的系数和自由项代入力法方程，求解个多余力。5、求出多余力，由叠加法绘出原结构的内力图。5.4用力法计算超静定桁架和组合结构一、超静定桁架的计算计算原理和步骤与超静定梁和刚架相同，只是桁架中的各杆只产生轴力，所以力法方程中的系数和自由项的计算公式为：δij=ΣEANiNjLΔiP=ΣEANiNPL桁架各杆最后轴力的计算公式：N=X1N1＋X2N2＋···＋XnNn＋NP二、组合结构的计算δii=ΣEANi2L例：求图示超静定桁架的内力。各杆的EA相同。ABCDEF30kN30kN3×4m3mABCDEFX1X1解：1、取基本结构和基本未知量，如图所示2、力法方程δ11X1＋Δ1P=03、计算系数和自由项Δ1P=ΣEAN1NPLδ11=ΣEAN12L30kN30kNABCDFE11Δ1P=ΣEAN1NPLδ11=ΣEAN12L解得：X1=45kNN=X1N1＋NP叠加原理：杆件AE(DF)AB(CD)BE(CF)BCBF(CE)EF∑N1NPLN1NPLN12LN000.751－1.25150－40－60－8050054435400－135－320－312.50001.7484121527.450－40－26.25－35－6.25－45例：作图示排架的弯矩图。EI6EIABCD2kN/mEI6EIEA∞2m4m解：1、取基本结构ABCDX1=12kN/m基本结构2、列力法方程δ11X1＋Δ1P=03、作弯矩图，计算系数和自由项。364ABCDMP图（kNm）ABCDX1=1M图（m）66注意：图乘时由于柱的截面EI大小不同，要分段计算！解得：X1=－2.02kN4、由叠加法作原结构的弯矩图。23.99CDM图（kNm)12.15.6对称结构的计算一、结构的对称性若结构满足以下条件：（1）结构的几何形状、尺寸和支承情况对某一轴对称；（2）杆件截面尺寸和材料弹性模量也对该轴对称，即在对称位置的杆件，其EI、EA值均相同。这类结构叫对称结构。该轴线称为对称轴。EI1EI1EI2对称轴EI1EI2EI3EI1EI3对称轴EIEI在竖向荷载作用下为对称结构二、荷载的对称性对称荷载—绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载彼此重合，即作用点相对应、数值相等、方向相同。如图（a）aaPP(a)aaPP(b)反对称荷载—绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载正好相反，即作用点相对应、数值相等、方向相反。如图（b）将一般荷载分解为对称荷载和反对称荷载：aPaaP/2(a)P/2aa(b)P/2P/2＋P(a)P/2P/2P/2P/2(b)＋X1=1M1图三、取对称基本体系进行计算aPEI1EI1EI2PX1X2X3基本结构δ11X1＋δ12X2＋δ13X3＋Δ1P=Δ1=0δ21X1＋δ22X2＋δ23X3＋Δ2P=Δ2=0δ31X1＋δ32X2＋δ33X3＋Δ3P=Δ3=0PMP图1111X3=1M3图X2=1M2图δ11X1＋δ12X2＋Δ1P=0δ21X1＋δ22X2＋Δ2P=0δ33X3＋Δ3P=0PP(a)P/2P/2P/2P/2(b)＋图(a)由于荷载通过CD杆轴线，所以只有CD杆有轴力，各杆均无弯矩和剪力，因而只需作反对称荷载作用下的弯矩图即为原结构的弯矩图。EI1EI1EI2PBACDX1=1P/2P/2基本结构力法方程δ11X1＋Δ1P=0例：例：作图示刚架弯矩图。解：1、取基本结构和基本未知量，由对称性可知切口处反对称的未知力为零。X1X1X2X2由结构受力的对称性和水平对称轴以上部分的平衡条件可知：X1=qa/22、力法方程：δ22X2＋Δ2P=03、作弯矩图，求系数和自由项1111qa2/8MP图11M2图qqaaEIEIδ22=4aEIΔ2P=－qa36EI得：X2=qa2244、叠加法作弯矩图qa2/8MP图111111M2图qa224qa224qa224qa224qa28用力法计算超静定结构利用对称性的简化方法：1、选用对称的基本体系。2、对称的基本体系，在对称荷载作用下，反对称基本未知量必等于零，只需计算对称基本未知量。原结构的M图、N图是对称的，Q图是反对称的。3、对称的基本体系，在反对称荷载作用下，对称基本未知量必等于零，只需计算反对称基本未知量。原结构的M图、N图是反对称的，Q图是对称的。4、对于任意荷载，可以分解为对称和反对称荷载两种情形分别计算，然后叠加；也可以不分解，利用对称基本体系，将基本未知量分解为对称和反对称两组，简化方程中系数的计算，减少方程的元数。取半刚架法进行计算(P163)（一）对称荷载作用1、奇数跨对称结构定向支座：XM采用半刚架法后，由三个基本未知量变为一个基本未知量，大大简化了计算！对称轴PPCAPCA2、偶数跨对称结构PPCBADEF忽略轴向变形PCAE由六个基本未知量变为三个基本未知量！（二）反对称荷载作用1、奇数跨对称结构对称轴PPCAPCA5个基本未知量2个基本未知量2、偶数跨对称结构忽略轴向变形PPCBADEFIPCAEI/2B注意:中间柱的总内力为中间两根分柱内力的叠加。例:15kN/m40kN40kN40kN15kN/mqq＋图(a)由于荷载通过CD杆轴线，所以只有CD杆有轴力，各杆均无弯矩和剪力，因而只需作反对称荷载作用下的弯矩图即为原结构的弯矩图。例：作图示刚架的弯矩图。EI为常数(a)5kN5kN(b)5kN5kN10kNEIEIEIBACD4m4m取半刚架计算（如