§3.7 万有引力定律的发现

§3.7万有引力定律的发现历史背景航海业发展—哥伦布发现新大陆，麦哲伦的环球航行；天文观测精确—丹麦天文学家第谷·布拉赫对行星进行了大量观察，他的助手开普勒分析研究了这些资料，总结归纳了开普勒三大定律.“地心说”动摇—哥白尼在天文精确观察的基础上，冲破宗教统治和“地心说”，提出了“日心说”.开普勒三定律（1）行星沿椭圆轨道绕太阳公转，太阳位于椭圆的一个焦点上；（2）在相同的时间里，行星的向径（即太阳和行星的连线）扫过相同的面积；（3）行星公转周期的平方与其轨道长半轴的立方成正比。问题疑惑开普勒三定律只是说明行星的运动情况，但并没有解释为什么这样运动.那么是什么力量作用在行星上，使它的速度不断改变并保持在椭圆轨道上运动呢？牛顿运动三定律的发现及微积分的产生，促使牛顿对开普勒三定律重新认识反思，他认为：“一切运动都有其力学原因.”他利用微积分知识重新探求行星运行规律的原因.微积分工具牛顿第二定律开普勒三定律万有引力定律开普勒三定律及牛顿第二定律的数学表示.,),1(,cos1;)1(2222为离心率轴，分别为椭圆的长、短半①，其中行星运行的轨道方程为ebaeababpeprdtdArr为常数，对某颗行星而言，②扫过的面积为：单位时间内向径A221)2(.)3(32为绝对常数③满足：行星运行周期aTT.()(:)4(为加速度）或④牛顿第二定律armarmF模型假设极坐标系(r,)太阳(0,0)行星位置：向径))(),(()(ttrtrO(太阳)P(行星)rr模型建立选取单位基向量⑤jiujiurcossinsincos⑥于是|)|(,rrurrr.)(),(的函数均为tttrr⑦对⑤求导，得rrujiuujiusincoscossin对⑥求一阶、二阶导数，即得行星运动的速度和加速度⑧ururururrrrr⑨urrurrurururururrrrr)2()(2）（由②1022rA)11(4434rrArrAr再求导，得0442111022rrArrArr））、（由（）（式化为：12)()9(2rurrr)13(sin2/2sin)cos1(sin,cos122)10(2pAeprAereperrerp）由（)14()1(4cos4cos23222prrApreApAer），得：）式代入（）、（将（121410)15(44])2()1(4[022222232rprAuprAurArprrArrr||0rrurr其中)16(,4022rprmArmf.反比的大小与距离的平方成指向太阳，向，并在太阳与行星的连线方方向正好相反，即的的方向与向径的作用力该结果表明太阳对行星ffrf是绝对常数吗？都不是绝对常数，、问题：由于pAPA2由A、a、b的定义知，任一行星的周期T满足：)17(,/,232abTAabpaT，)18(/)/(2232222TaabTabpA：得著名的万有引力公式也是绝对常数，从而均为绝对常数，所以因为pA/,2)19(4022rrmf./4.4222为比例常数其中的平方成反比离成正比，与距与行星的质量的大小即引力rmrmFf§3.8赤道上空通讯卫星颗数的确定问题提出某国航天部门计划将一颗通讯卫星送入地球赤道上空的静止轨道.（1）为了保持该卫星的相对静止，该通讯卫星的运行速率及轨道的高度应是多少？（2）欲使赤道上的所有点至少与一颗通讯卫星保持联系，在赤道上需布多少颗通讯卫星？模型建立以地心为极点建立极坐标系，将通讯卫星与地球看作质点.根据牛顿第二定律和万有引力定律，卫星的运动方程应满足：rrurrrrurmMGrm|,|,2其中①Furrurrrr)2()(2rrurGMurrurr22)2()(1），代入（)(trr·卫星质量muruθθ由向量的相等，得：0222rrrGMrr0常数，从而对于匀速运动来说，0,0rr此即卫星运动模型模型求解.,的圆为半径即卫星运动轨迹是一个为常数，记aarr22aGMa213)(aGM213)(aGMdtaGMd213)(由上式TdtaGMd021320)(由于地球自转一周需24h,通讯卫星绕静止轨道一圈所用时间T也是24h，即T=24h=8.64×104s.TaGM213)(2322)2(GMTa：可得卫星运动的速度为由卫星的速度,uarkgMkgmNG24221110976.5,/1067.6取kma4322424111022.44)1064.8(10976.51067.6则441064.01022.4Rah从而卫星的高度km41058.3skmaGMaGMaav/07.31022.410976.567.64241131516587.01022.41064.0cos44aR又811516587.0arccos，盖的角度大约为一颗卫星在赤道上所覆1623604861623,3603241622而.3通讯卫星保持联系道上的所有点可以一颗赤颗通讯卫星，才能使得所以在赤道上需空布