一. 无穷积分的性质

一.无穷积分的性质§2无穷积分的收敛性质与判别()dafxx收敛的充要条件是:0,,Ga1221()d()d()d.uuuaaufxxfxxfxx12,,uuG当时(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分定理11.1,],[b，auaf上可积在任何有限区间若且有同敛散与则，dxxfdxxfba)()(.)()()(dxxfdxxfdxxfbbaa性质１，k，kdxxfdxxfaa为任意常数都收敛与若2121,)()(且也收敛则，dxxfkxfka)]()([2211aaadxxfkdxxfkdxxfkxfk)()()]()([22112211性质2其中右边第一项为定积分.，dxxf，uafa收敛且上可积在任何有限区间若)(],[并有必收敛则，dxxfa)(.)()(dxxfdxxfaa注.)()(为绝对收敛称收敛时当aadxxf，dxxf性质３说明：绝对收敛的级数自身一定收敛．我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛．性质3但自身收敛的级数,不一定绝对收敛．都在任何有限区间和上的两个函数设定义在gfa),[),[),()(axxgxf二.比较判别法1、定理11.2（比较准则）且满足,[,]au上可积;)(,)(收敛则收敛若dxxfdxxgaa.)(,)(发散则发散若aadxxgdxxfaadxxgdxxf，ci;)()(0)(同敛散与时当且上可积都在任何有限区间和设,0)(],[x，guagf;)()(0)(收敛则收敛若时当dxxf，dxxg，ciiaa.)()()(发散则发散若时当dxxf，dxxg，ciiiaa2、推论1:,)()(lim则有cxgxfx且在任何有限定义在设，aaf)0)(,[3、柯西判别法推论2则有上可积区间，ua],[1(1)(),[,)1();pafxxapfxdxx当且0时收敛＜＜发散时且当.)(1),[,1)()2(dxxfpaxxxfap.)(limxfxpx推论3且在任何有限区间定义在设，af),[且上可积，],[ua则有:(i)当1,0p时,|()|afxdx收敛;(ii)当1,0p时,|()|afxdx发散.定理11.3(狄利克雷判别法)三.狄利克雷达判别法与阿贝尔判别法若()()uaFufxdx在[,)a上有界,()gx在[,)a上当x时单调趋于0,则()()afxgxdx收敛.证:由条件设|()|,[,).afxdxMua任给0,由于lim()0,xgx因此存在,Ga当xG时,有|()|.4gxM又因()gx为单调函数,利用积分第二中值定理,对于任何21,uuG存在12[,],uu使得221112()()()()()().uuuufxgxdxgufxdxgufxdx于是有221112|()()||()||()||()||()|uuuufxgxdxgufxdxgufxdx1212|()||()()||()|()()||uuaaaagufxdxfxdxgufxdxfxdx22.44MMMM根据柯西准则:()()afxgxdx收敛.若adxxf)(则上单调有界在收敛，ax，g),[)(.)()(收敛adxxgxf定理11.4(阿贝尔判别法)例1讨论1sinpxdxx与1cospxdxx的收敛性.解(i)当1p时1sinpxdxx绝对收敛.因为sin1|,[1,),ppxxxx而11pdxx当1p时收敛,故由比较法则推知1sin||pxdxx收敛.(ii)当01p1,u1|sin||cos1cos|2,uxdxu而1px当0p时单调趋于0(),x故由狄利克雷判别法推知1sinpxdxx当0p时总是收敛的.又由于2sinsin1cos2|,[1,)22pxxxxxxxx其中12cos21cos22xtdxdtxt满足狄利克雷判别条件,是收敛的,而12dxx是发散的,因此当01p时该无穷积分不是绝对收敛的.所以它是条件收敛的.例2.讨论下列无穷积分的收敛性，0521.1)2(;)1(dxxxdxexx解(1)：都有由于,R,0limlim22xxxxexexx根据柯西判别法1dxexx.都收敛R解(２)：11lim5221xxxx由于根据柯西判别法0521dxxx.发散例3.1134的收敛性判别反常积分xdx解,111103/43434xxx,134p根据比较原则，.1134收敛反常积分xdx例4.1122/3的收敛性判别反常积分dxxx解2222/31lim1limxxxxxxxx,根据极限判别法，所给反常积分发散．例5.arctan1的收敛性判别反常积分dxxx解xxxxxxarctanlimarctanlim,2根据极限判别法，所给反常积分发散．证).)()((21)(xfxfx令,)()(0)(xfxx，且,)(收敛dxxfa.)(也收敛dxxa,)()(2)(xfxxf但,)()(2)(bababadxxfdxxdxxf.)()(2)(aaadxxfdxxdxxf即收敛.也收敛则收敛如果上连续在区间设函数定理dxxfdxxf，axfaa)(;)(),[)(例5.)0,(sin0的收敛性常数都是判别反常积分abadxbxeax解.,sin0收敛而dxeebxeaxaxax.sin0收敛dxbxeax所以所给反常积分收敛..)(称为绝对收敛常积分满足前面定理条件的反定义adxxf必定收敛．绝对收敛的反常积分adxxf)(