江苏省徐州市新沂市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

江苏省徐州市新沂市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在相应的位置上）1．在△ABC中，a=4，A=30°，B=60°，则b等于．2．在等比数列{an}中，a2=2，a4=4，则a10=．3．一直线倾斜角的正切值为，且过点P（1，2），则直线方程为．4．等差数列{an}中，若a1+a2=4，a10+a9=36，则S10=．5．在等比数列{an}中，a1=2且a4a6=4a72，则a3的值是．6．在△ABC中，若（a+b）2=c2+ab，则∠C=．7．已知直线y=（3a﹣1）x+a﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．8．在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为．9．数列{an}满足a1=3，﹣=5（n∈N+），则an=．10．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是．11．对于△ABC，有如下四个命题：①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形，②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形③若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形④若==，则△ABC是等边三角形．其中正确的命题的序号是．12．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，且数列||也为等差数列，则a26的值为．13．在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+3BC的最大值为．14．已知等比数列{an}满足a1=1，0＜q＜，且对任意正整数k，ak﹣（ak+1+ak+2）仍是该数列中的某一项，则公比q为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知直线l过点A（﹣2，3）（1）直线l的倾斜角为135°，求直线l的方程；（2）直线l在两坐标轴上的截距之和为2，求直线l的方程．16．在△ABC中，a，b，c分别为其内角A，B，C的对边，且cos（B﹣C）﹣2sinBsinC=﹣．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，sin=，求边b的大小．17．等比数列{an}（an＞0，n∈N*）中，公比q∈（0，1），a1a5+2a3a5+a2a8=25，且2是a3与a5的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小．18．（16分）如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；（2）设∠COP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．19．（16分）已知等差数列{an}中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{bn}满足，其前n项和为Sn．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若S2为S1，Sm（m∈N*）的等比中项，求m的值．20．（16分）已知递增的等差数列{an}的首项a1=1，且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）设数列{cn}对任意n∈N*，都有++…+=an+1成立，求c1+c2+…+c2014的值（3）若bn=（n∈N*），求证：数列{bn}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．江苏省徐州市新沂市2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在相应的位置上）1．在△ABC中，a=4，A=30°，B=60°，则b等于4．．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：根据题意，由正弦定理代入已知即可求解．解答：解：由正弦定理得：，从而有：b===4．故答案为：4．点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．2．在等比数列{an}中，a2=2，a4=4，则a10=32．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{an}的公比为q，根据a2=2，a4=4，可得，再利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2=2，a4=4，∴=2，∴=2×24=32．故答案为：32．点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．3．一直线倾斜角的正切值为，且过点P（1，2），则直线方程为3x﹣4y+5=0．考点：直线的一般式方程．专题：计算题；直线与圆．分析：题目给出了直线的斜率和直线经过的定点，直接写出直线方程的点斜式，然后化为一般式．解答：解：因为直线倾斜角的正切值为，即k=3，又直线过点P（1，2），所以直线的点斜式方程为，整理得，3x﹣4y+5=0．故答案为3x﹣4y+5=0．点评：本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题．4．等差数列{an}中，若a1+a2=4，a10+a9=36，则S10=100．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：要求S10，根据等差数列的和公式可得，只需求a1+a10，而由已知a1+a2=4，a10+a9=36可知只要把两式相加，再利用等差数列的性质可求解答：解：∵a1+a2=4，a10+a9=36∴a1+a10+a2+a9=40由等差数列的性质可得，a1+a10=a2+a9∴a1+a10=20由等差数列的前n项和可得，故答案为：100点评：本题主要考查了等差数列的性质（若m+n=p+q．则am+an=ap+aq）的应用，考查了等差数列的前项和公式，灵活运用性质是解决本题的关键．5．在等比数列{an}中，a1=2且a4a6=4a72，则a3的值是1．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的公比，结合已知条件列式求出q2，则a3可求．解答：解：设等比数列{an}的公比为q，由a1=2且a4a6=4a72，得，即．所以．则．故答案为1．点评：本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．6．在△ABC中，若（a+b）2=c2+ab，则∠C=．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC与已知（a+b）2=c2+ab联立，即可求得∠C．解答：解：∵△ABC中，（a+b）2=c2+ab，∴c2=a2+b2+ab，又由余弦定理知，c2=a2+b2﹣2abcosC，∴﹣2cosC=1，∴cosC=﹣，又C为三角形ABC中的内角，∴C=．故答案为：．点评：本题考查余弦定理，求得cosC=﹣是关键，属于中档题．7．已知直线y=（3a﹣1）x+a﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：直线y=（3a﹣1）x+a﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，可得，解得即可．解答：解：∵直线y=（3a﹣1）x+a﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，∴，解得．故答案为：．点评：本题考查了直线的斜率与截距的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：有三角形的面积公式先求|AB|，再由余弦定理求AC的长．解答：解：因为S△ABC===，∴|AB|=4，由余弦定理得：|AC|===．故答案为：．点评：本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题．9．数列{an}满足a1=3，﹣=5（n∈N+），则an=．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．解答：解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a1=3，∴=，∴数列的通项是∴故答案为：点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目．10．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是3或5．考点：两条直线平行的判定．专题：计算题．分析：考查题意，不难发现x=3为所求，然后利用直线平行的条件解答即可．解答：解：当k=3时两条直线平行，当k≠3时有故答案为：3或5．点评：本题考查直线与直线平行的条件，是基础题．11．对于△ABC，有如下四个命题：①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形，②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形③若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形④若==，则△ABC是等边三角形．其中正确的命题的序号是③④．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：①举反例，2A=π﹣2B，②举反例，B=π﹣+A，③④运用正弦定理来证明．解答：解：①也有可能2A=π﹣2B，求得A+B=，不一定是等腰三角形．②也有可能有B=π﹣+A，B﹣A=，此时三角形为钝角三角形，故②不一定正确．③∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理知a2+b2＜c2，∴cosC=＜0，∴C一定为钝角，③正确④∵=，∴sin=sin，∴A=B或+=π（不符合题意），∴A=B，同理可知B=C，∴三角形一定为等边三角形，故答案为：③④点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中需要学生心细程度较高．12．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，且数列||也为等差数列，则a26的值为102．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意可得，，的值，由数列{}也为等差数列可得2=+，解方程可得d值，由等差数列的通项公式可得．解答：解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=2，∴=，∴=，=，∵数列{}也为等差数列，∴2=+，解得d=4，∴a26=2+25×4=102，故答案为：102．点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题．13．在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+3BC的最大值为．考点：三角函数的最值．专题：计算题；解三角形．分析：△ABC中，，由正弦定理，得，所以AB=2sinC，BC=2sinA．由此能求出AB+3BC的最大值．解答：解：∵B=60°，A+B+C=180°，∴A+C=120°，由正弦定理，得，∴AB=2sinC，BC=2sinA．∴AB+3BC=2sinC+6sinA=2sin（120°﹣A）+6sinA=2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+6sinA=cosA+7sinA=2sin（A+φ），（其中tanφ=）所以AB+3BC的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查AB+3BC的最大值的求法，解题时要认真审题，注意正弦定理和三角函数恒等变换的合理运用．14．已知等比数列{an}满足a1=1，0＜q＜，且对任意正整数k，ak﹣（ak+1+ak+2）仍是该数列中的某一项，则公比q为﹣1．考点：等比数列的通项公式；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件知，ak﹣（ak+1+ak+2）=qk﹣1（1﹣q﹣q2），从而得到1﹣q﹣q2=q，由此能求出q=．解答：解：∵等比数列{an}满足a1=1，0＜q＜，且对任意正整数k，ak﹣（ak+1+ak+2）仍是该数列中的某一项，∴，ak﹣（ak+1+ak+2）=qk﹣1﹣（qk+qk+1）=qk﹣1（1﹣q﹣q2）．∵an都是q的几次方的形式，∴1﹣q﹣q2应该也是q的几次方的形式，∵0＜q＜，∴＜1﹣q﹣q2＜1，∴1﹣q﹣q2只有可能等于q，由1﹣q﹣q2=q，得q2+2q﹣1=0，解得q=．故答案为：．点评：本题考查等比数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知直线l过点A（﹣2，3）（1）直线l的倾斜角为135°，求直线l的方程；（2）