第五节 可降阶的二阶微分方程

第五节可降阶的二阶微分方程一、型的微分方程)(xfy二、型的微分方程),(yxfy三、型的微分方程),(yyfy一、型的微分方程)(xfy解法,d)(1Cxxfy.d)d)((21CxCxxxfy特点右端仅含有自变量x,只要连续积分二次即得通解..cos的通解求方程xxeyx例1解xxxeyxd)cos(1sin,xxxeexC1(sin)dxxyxeexCx122cos.xxxeexCxC逐次积分的解法可用于解高阶微分方程.)()(xfyn,d)(1)1(CxxfynxCxxfynd)d)((1)2(,d)d)((21CxCxxxf只要连续积分n次即得含n个独立任意常数的通解..2的通解求方程例xxey解xxeyxd,1CexexxxCexeyxxd)(1,221CxCexexxxCxCexeyxxd)2(21.33221CxCxCexexx解据题意有tFoT0FF)1(0TtF对方程两边积分,得例3质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线运动,设力F仅是时间t的函数:F=F(t).在开始时刻t=0时F(0)=F0,随着时间的增大,此力F均匀地减小,直到t=T时F(T)=0.若开始时质点在原点,且初速度为0,求质点的运动规律.120)2(ddCTttmFtx120)2(ddCTttmFtx利用初始条件,01C得于是)2(dd20TttmFtx两边再积分得2320)62(CTttmFx再利用,02C得故所求质点运动规律为).3(2320TttmFx二、型的微分方程),(yxfy特点：解法：.y不显含未知函数,)(xpy令.py则代入原方程,化为关于变量x,P的一阶微分方程).,(pxfp关于p(x)的一阶方程设其通解为),,(1Cxp即,),(1Cxy再次积分,得原方程的通解.d),(21CxCxy.0的通解求方程yyx解),(xpy设代入原方程,得,0ppx,1xCp解线性方程,得两端积分,得原方程通解为,)(xpy则）（0p,1xCy即,21221CxCy例1.221CxCy即.12的通解求方程yxyx解),(xpy设代入原方程,得,12xppx),(ln11Cxxp解线性方程,得两端积分,得原方程通解为),(xpy则,lnln21212CxCxy例2,112xpxp即),(ln11Cxxy即.1)0(,0)0(0)1(2的解求方程yyyxyx解),(xpy设代入原方程,得,0)1(2xppx211xCP解线性方程,得),(xpy则例3,012pxxp即211xCy即,1)0(y由,11C得211xy两端积分,得原方程通解为,arcsin2Cxy,0)0(y由,02C得故所求原方程的解为:.arcsinxy三、型的微分方程),(yyfy),(ypy设xpydd则特点：.x右端不显含自变量解法：xyypdddd,ddypp代入原方程,化为关于p(y)的一阶微分方程设其通解为),,(1Cyp即分离变量后积分,得原方程的通解.02的通解求方程yyy解,ddyppy则),(ypy设代入原方程得,0dd2pyppy,0)dd(pypyp即，由0ddpypy,1yCp可得.12xceCy故原方程通解为例1即.02的通解求方程yyy解2,12y两端同乘,0)(dd22yyxyyyy,1yCy故从而通解为.12xCeCy例1解3原方程变为,yyyy两边积分,得，1lnlnlnCyy，即yCy1原方程通解为.12xCeCy解2)0(,1)0()(22yyyyyy即求初值问题),(ypy设,ddyppy则代入原方程得,)1(2ddypyp,2d1dyypp,ln)1ln(2Cyp得代入将,2,1py,0C,12ypy,d1d2xyy,arctanCxy可得故曲线方程为,d1d2xyy得代入将,1,0yx,4C.)4tan(xy.02的通解求方程yey例3解令),(ypy,ddyppy则代入方程得积分得,1221221Cepy即,122Cepy,12Cepy若,12Ceyy即,y解得,12Cepy若,12Ceyy即,y解得解例4解初值问题.1,00002xxyyyey令),(ypy,ddyppy则代入方程得积分得,1221221Cepy即,122Cepy利用初始条件,,0100xyyp,01C得根据,ddyepxy积分得,2Cxey,00xy再由,12C得故所求特解为.1xey得四、小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令,)(xpy令,)(ypy思考与练习1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如：2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.一、求下列各微分方程的通解:1、xxey；2、21yy；3、yyy3)(；4、0122yyy.二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:1、0,1,01113xxyyyy；2、1,0,0002xxyyyay；3、2,1,300xxyyyy.三、试求xy的经过点)1,0(M且在此点与直线12xy相切的积分曲线.练习题练习题答案一、1、32123CxCxCexeyxx；2、21)cos(lnCCxy；3、12)arcsin(CeCyx；4、xCxCy2111.二、1、22xxy；2、)1ln(1axay；3、4)121(xy.三、121613xxy.