计算结构动力学

1/23第2章分析动力学基础2.1基本概念2.1.1约束对质点系各质点的位移和速度提供的限制，约束在数学上通过约束方程来表达。对于n个质点组成的系统，约束方程的一般形式为：mktrrrrrrfnnk,1,0),,...,,,,...,,(2121或简写为：mktrrfiik,1,0),,(式中，ir、ir分别为质点i的位置矢量和速度矢量，t为时间，m为约束方程的个数。注：弹性支座不对位置和速度提供直接限制，不作为约束。约束方程的分类：（1）几何约束和运动约束几何约束：约束方程中不显含速度项，如：0),(trfik运动约束：约束方程中显含速度项，如：0),,(trrfiik下图中，如果圆轮与地面之间无滑动，则其约束方程为：0axc（2）定常约束和非定常约束定常约束：约束方程中不显含时间t，如：0),(iikrrf非定常约束：约束方程中显含时间t，如：0),,(trrfiik2/23222lyx222)(utlyx（3）完整约束与非完整约束完整约束：几何约束以及可积分的运动约束非完整约束：不可积分的运动约束方程0axc可积分为0axc，因此是完整约束。（4）单面约束与双面约束单面约束：约束方程为不等式，如：0),,(trrfiik双面约束：约束方程为等式，如：0),,(trrfiik下图中，如果考虑到绳子可以缩短，则其约束方程为：222lyx，表现为不等式形式，就是一个单面约束。一般分析力学的研究对象为：完整的双面约束，方程为：0),(trfik。2.1.2广义坐标与自由度广义坐标：描述系统位置状态的独立参数，称为系统的广义坐标。广义坐标的个数：（1）空间质点系：mnN3（2）平面质点系：mnN23/23对于如图双连刚杆的平面两质点系统，约束方程为：22212212212121)()(lyyxxlyx广义坐标个数为：2222N，具体地可选择为：),(21xx；),(21yy；),(21yx；),(21xy；),(21等。如果系统的位移状态),(txu可以通过一组基函数)(xfi来线性组合，如：iiixftqtxu)()(),(，由于各系数)(tqi相互独立，因此系数)(tqi也是一种广义坐标。例：简支梁的挠度曲线可表示为iilxitqtxysin)(),(，)(tqi为与基函数lxisin对应的广义坐标。根据广义坐标的概念，设系统的广义坐标个数为N，当选定系统的广义坐标),1(Nkqk后，系统的位置状态可以由全部广义坐标来表示，也即有：),(),,...,,(21tqrtqqqrrkiNii，ni,1自由度：某瞬时，系统独立运动的个数。自由度强调的是独立运动也即独立速度，广义坐标强调的是独立坐标（位移）。对于完整系统，自由度与广义坐标的个数相同；对于非完整系统，由于存在非完整约束，对独立速度的限制多于对独立坐标的限制，因此自由度数比广义坐标个数少。2.1.3力的功对于力ktZjtYitXtF)()()()(，设在微小时间间隔dt内力作用点的位移为kdzjdyidxrd，则该力做的功称为元功：4/23dztXdytXdxtXdrtFrdtFW)()()(cos)()(式中，为)(tF与rd的夹角。经过一段路径AB，做的总功为：BABAdztZdytYdxtXrdtFW)()()()(对于力偶)(tM，设在微小时间间隔dt内物体在力偶作用下的转角为d，则元功为：dtMW)(转过一定角度121，做的总功为：21)(dtMW力、力偶在单位时间内做的功称为功率：rtFdtrdtFdtWdtdWp)()()()(tMdtdtMdtWdtdWp2.1.4有势力与势能有势力：在作用点变化过程中，力做的功如果只与起止位置有关，而与中间路径无关，则这个力称为有势力，有势力所在的空间称为该有势力的势力场，如重力与重力场。势能：在势力场中，物体从位置),,(zyxM运动到任选的位置),,(0000zyxM，有势力所作的功称为物体在位置M相对于位置0M的势能，以V表示：00MMMMZdzYdyXdxrdFV位置0M的势能等于零，称为零势能位置（点、状态）。势能V是位置),,(zyxM的函数，记为),,(zyxV。有势力分量与势能具有如下关系：xVX，yVY，zVZ证明如下：当),,(zyxM具有微小变化变为),,('dzzdyydxxM时，势能的增量为：5/23][''''0000ZdzYdyXdxrdFrdFrdFrdFrdFrdFrdFdVMMMMMMMMMMMM因此有：xVX，yVY，zVZ当弹性体变形后，恢复变形到原始状态的过程中，弹性力会做功，做的功等于变形状态改变释放的变形能，只与前后变形状态有关，因此具有势能的性质。弹性体因变形而具有变性能为：dVzxzxyzyzxyxyzzyyxx)(212.1.5虚位移虚位移：某瞬时，约束所容许的任意微小位移。要点1：“某瞬时”意味着虚位移不考虑时间的变化，也即是虚位移无时间过程。要点2：“约束所容许”表示不破坏约束，满足约束条件。要点3：“微小位移”指位移小到只考虑一阶变化。要点4：“任意”指无需考虑真实的力、速度和时间等真实运动因素，可以人为地设定。要点5：对于一个系统，由于存在内部的约束联系，各位置点的虚位移不具有完全的任意性。要点6：根据定义，独立虚位移的个数等于系统的自由度数。概念辨析：可能位移：考虑时间，但不考虑运动的原因，约束所容许的位移称为可能位移。真实位移：同时考虑时间和运动的原因，约束所容许的位移称为真实位移，真实位移是可能位移中的一种。可能位移和真实位移不具有“微小”性，因此可能位移不一定是虚位移。设系统的广义坐标为),1(Nkqk，系统的位置状态可以由全部广义坐标表示为：6/23),(),,...,,(21tqrtqqqrrkiNii，ni,1根据微积分的概念，任一质点i的位移增量有如下关系：dttrdqqrdttrdqqrdqqrdqqrrdiNkkkiiNNiiii12211...略去上式中与时间有关的增量，将kdq变为虚位移kq，则可得到质点i的虚位移：Nkkkiiqqrr1上式建立了任一点虚位移与广义坐标虚位移的关系。由于各广义坐标是独立的，因此各广义坐标可以独立发生虚位移。当只有一个广义坐标kq有虚位移kq时，质点i的虚位移为：kkiiqqrr另外，根据约束方程也可建立虚位移之间的关系，方法如下：对于约束方程0),(trfik，有：0)(11niiikiikiikniiikzzfyyfxxfrrf例如：222)(utlyx有：022yyxx0yyxx2.1.5虚功与广义力虚功：力在虚位移上所做的功称为虚功。力系iF中各力作用点的虚位移为：Nkkkiiqqrr1则总虚功为：7/23NkknikiiNknikkiiniNkkkiiniiiqqrFqqrFqqrFrFW1111111])([)()()(记：nikiikqrFQ1)(为与kq对应的广义力，则有：NkkkqQW1广义力的计算方法：（1）记：kZjYiXFiiii，得：nikiikiikiinikiikqzZqyYqxXqrFQ11)()(（2）单独使一个广义坐标kq发生虚位移kq，此时的虚功为：kkqQW因此有：kkqWQ（3）如果所有力均为有势力，根据：iixVX，iiyVY，iizVZ得：knikiikiikiinikiikiikiinikiikqVqzzVqyyVqxxVqzZqyYqxXqrFQ111)()()(例题2-1：如图双摆，以1、2为广义坐标，对于重力gmP11、gmP22的广义力。解：方法1：111cosly8/2322112coscoslly1111sinly2221112sinsinlly222211121222111211112211sinsin)()sinsin()sin(lPlPPllPlPyPyPW因此有：11211sin)(lPPQ2222sinlPQ方法2：首先只让1产生一个虚位移1，两质点的虚位移为：1121lrr虚功为：1112111121111122111sin)(sinsinsinsinlPPlPlPrPrPW因此广义力为：11211sin)(lPPQ再只让2产生一个虚位移2，两质点的虚位移为：01r222lr虚功为：22222222222sinsinsinlPlPrPW因此广义力为：2222sinlPQ方法3：111cosly9/2322112coscoslly以O处为重力势能零点，系统的势能为：2221121221121112211coscos)()coscos(coslPlPPllPlPyPyPV广义力为：112111sin)(lPPVQ22222sinlPVQ2.2虚功（虚位移）原理2.2.1理想约束虚功的计算公式为：NkkkniiiqQrFW11)(一个系统可能有很多力，但是有些力在虚位移上不做功。在计算虚功时这些力就不必考虑，为计算带来极大的便利。如果不做功的力是约束反力，其约束称为理想约束，比如光滑表面提供的支持力、不可伸长绳子的拉力、光滑铰链的约束反力、刚体的内力等都不作功，都是理想约束。2.2.2虚功（虚位移）原理虚功（虚位移）原理：物体系统保持平衡的必要和充分条件是：所有力在任意虚位移上所作的虚功之和为零，即：0)(11NkkkniiiqQrFW虚功（虚位移）原理的意义：为获取系统的平衡条件、平衡（运动）方程提供了统一的具有普遍适用能力的方法。不管系统中物体的多少，不管物体是变形体还是刚体，不管物体是平衡还是运动（通过D’alembert原理转化为平衡），虚功（虚位移）原理均适用，均能提供完备的方程组。例题2-2：对于光滑的墙面和地面，分析使无重刚杆保持平衡的1P、2P之间的关系，杆长为l。解：10/23cos2lxsin1ly虚位移为：sin2lxcos1ly虚功为：lPPlPlPyPxPW)cossin(cossin12121122根据平衡条件0W和虚位移的任意性，可解得：0cossin12PP例题2-3：对于图示双摆，在2m处作用一个水平力P，求平衡时两杆与铅垂方向的夹角。111cosly22112coscoslly22112sinsinllx1111sinly2221112sinsinlly2221112coscos