工科概率统计7-2

概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计第二节点估计的评价标准§7.2一、无偏性二、有效性三、一致性概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量?用何标准来评价一个估计量的好坏?常用标准(1)无偏性(3)一致性(2)有效性§7.2概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计一、无偏性无偏)ˆ(E若则称ˆ是的无偏估计量.定义估计值与真值都相等，但可以要求这些估我们不可能要求每一次由样本得到的计值的期望与真值相等.定义的合理性概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计),,,(21nXXX是总体X的样本,证明:不论X服从什么分布(但期望存在),是k的无偏估计量.证nikinikikXEnXnEAE11)(1)1()(例1设总体X的k阶矩)(kkXE存在因而niXEkki,,2,1)(由于kknn1例1nikikXnA11则概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计特别地样本二阶原点矩niiXnA1221是总体是总体期望E(X)的X样本均值无偏估计量的无偏)(22XE二阶原点矩估计量概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计例2设总体X的期望与方差存在,X的),,,(21nXXX样本为(n1).(1)不是D(X)的无偏估量;niinXXnS122)(1(2)是D(X)的无偏估计量.niiXXnS122)(11证212121)(1XXnXXnniinii前已证证明2)()(,)()(XDXDXEXEiinXDXEXE2)(,)()(例2概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计)()(1)(121212XEXEnXXnEniinii因而)()(2222n221nn212)(11niiXXnE故证毕.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计例3设),,,(21mXXX是总体X的一个样本,X~B(n,p)n1,求p2的无偏估计量.解由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,只要将未知参数表示成总体矩的线性函数,然后用样本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.npXEX)(令)1()()(12212pnpnpXEXmmii例3概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计XXmnnpmii122211因此,p2的无偏估计量为)1()1(11nnXXmmiii故XXmpnnmii12221)(概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计例4设总体X的密度函数为00,01);(xxexfx0为常数),,,(21nXXX为X的一个样本证明X与},,,min{21nXXXn都是的无偏估计量证)(1~XEEX故)()(XEXE是的无偏估计量.X例4概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计},,,min{21nXXXZ令000)(zenzzfnzZ即nZEnEZ)(~0100zeznz)(nZE故nZ是的无偏估计量.)()()(121zXPzXPzXPnniizXP1))(1(1),,,(1)(21zXzXzXPzFnZ概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计二、有效性),,,(ˆ2111nXXX都是总体参数的无偏估计量,且)ˆ()ˆ(21DD则称比更有效.1ˆ2ˆ定义设),,,(ˆ2122nXXX有效概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计所以,X比},,,min{21nXXXn更有效.是的无偏估计量,问哪个估计量更有效？X},,,min{21nXXXn由例4可知,与都00,01);(xxexfx0为常数例5设总体X的密度函数为221}),,,min{(nXXXnDnXD2)(解，例5概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计例6设总体X，且E(X)=,D(X)=2),,,(21nXXX为总体X的一个样本证明iniiXc11ˆ是的无偏估计量(2)证明Xˆ比iniiXc11ˆ更有效证(1)niiiniicXEcE111)()ˆ(例6.11niic.,,2,11ninci(1)设常数概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计(2)niiiniicXDcD122121)()ˆ(ncnii112)ˆ(1)ˆ(12DnDniinjijiniicnccc1212212)(结论算术均值比加权均值更有效.njijiniiniicccc1122121概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计例如X~N(,2),(X1,X2)是一样本.由例6(2)知3ˆ最有效.2132122112121ˆ4341ˆ3132ˆXXXXXX都是的无偏估计量概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计罗—克拉美（Rao–Cramer）不等式若ˆ是参数的无偏估计量,则)(),(ln1)ˆ(02DXpnED其中p(x,)是总体X的概率分布或密度函数，称为方差的下界.)(0D)()ˆ(0DD当时,称为达到方差下界的无偏估计量,此时称为最有效的估计量,简称有效估计量.ˆˆ概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计例7设总体X的密度函数为00,01);(xxexfx),,,(21nxxx为X的一个样本值.求的极大似然估计量,并判断它是否达到方差下界的无偏估计量.0为常数解由似然函数niixneL11)(niixnL1ln)(ln例7概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计21)(lnddniixnL0令xxnnii11ˆ的极大似然估计量为XXnnii11ˆ它是的无偏估计量.nXnDDnii21)1()ˆ(概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计而xxfln),(ln故是达到方差下界的无偏估计量.X2221),(lnxxf2221),(lnXEXfE21nXfnE22),(ln1)(XD概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计0))ˆ(limPn定义设是总体参数),,,(ˆˆ21nXXX则称ˆ是总体参数的一致(或相合)估计量.的估计量.若对于任意的,当n时,三、一致性ˆ依概率收敛于,即,0一致性估计量仅在样本容量n足够大时,才显示其优越性.一致概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计关于一致性的两个常用结论1.样本k阶矩是总体k阶矩的一致性估计量.是的一致估计量.ˆ由大数定律证明用切贝雪夫不等式证明矩法得到的估计量一般为一致估计量在一定条件下,极大似然估计具有一致性2.设是的无偏估计量,且,则0)ˆ(limDnˆ概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计例800,01);(~xxexfXx0为常数则是的无偏、有效、一致估计量.X证由例7知是的无偏、有效估计量.X)(limXDn0lim2nn所以是的一致估计量,证毕.X例8概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第七章、参数估计作业P207习题89101112习题