第十一章 统计学 一元线性回归

第11章一元线性回归11.1变量间关系的度量11.2一元线性回归11.3利用回归方程进行估计和预测11.4残差分析学习目标1.相关关系的分析方法2.一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计3.回归直线的拟合优度4.回归方程的显著性检验5.利用回归方程进行估计和预测6.用Excel进行回归重点1.一元线性回归分析2.用软件进行回归分析难点最小二乘法的原理并用它解决实际问题本章教学重点与难点11.1变量间关系的度量11.1.1变量间的关系11.1.2相关关系的描述与测度11.1.3相关系数的显著性检验变量间的关系函数关系1.是一一对应的确定关系2.设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量3.各观测点落在一条线上xy函数关系(几个例子)某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为y=px(p为单价)圆的面积S与半径R之间的关系可表示为S=R2企业的原材料消耗额y与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3之间的关系可表示为y=x1x2x3相关关系(correlation)1.变量间关系不能用函数关系精确表达2.一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定3.当变量x取某个值时，变量y的取值可能有几个4.各观测点分布在直线周围xy相关关系(几个例子)父亲身高y与子女身高x之间的关系收入水平y与受教育程度x之间的关系粮食单位面积产量y与施肥量x1、降雨量x2、温度x3之间的关系商品的消费量y与居民收入x之间的关系商品销售额y与广告费支出x之间的关系相关关系(类型)正相关负相关线性相关非线性相关正相关负相关完全相关不相关相关关系相关关系的描述与测度(散点图)相关分析及其假定1.相关分析要解决的问题•变量之间是否存在关系？•如果存在关系，它们之间是什么样的关系？•变量之间的关系强度如何？•样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？2.为解决这些问题，在进行相关分析时，对总体有以下两个主要假定•两个变量之间是线性关系•两个变量都是随机变量散点图(scatterdiagram)不相关负线性相关正线性相关非线性相关完全负线性相关完全正线性相关散点图(例题分析)【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，管理者希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据散点图(例题分析)散点图(不良贷款对其他变量的散点图)不良贷款与贷款余额的散点图024681012140100200300400贷款余额不良贷款不良贷款与贷款项目个数的散点图02468101214010203040贷款项目个数不良贷款不良贷款与固定资产投资额的散点图02468101214050100150200固定资产投资额不良贷款不良贷款与累计应收贷款的散点图024681012140102030累计应收贷款不良贷款相关关系的描述与测度(相关系数)相关系数(correlationcoefficient)1.度量变量之间关系强度的一个统计量2.对两个变量之间线性相关强度的度量称为简单相关系数3.若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为4.若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为r•也称为线性相关系数(linearcorrelationcoefficient)•或称为Pearson相关系数(Pearson’scorrelationcoefficient)相关系数(计算公式)样本相关系数的计算公式22)()())((yyxxyyxxr或化简为2222yynxxnyxxynr相关系数的性质性质1：r的取值范围是[-1,1]•|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关•r=0，不存在线性相关关系•-1r0，为负相关•0r1，为正相关•|r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱相关系数的性质性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间的相关系数相等，即rxy=ry性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。这意为着，r=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不一定意味着x与y一定有因果关系相关系数的经验解释1.|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关2.0.5|r|0.8时，可视为中度相关3.0.3|r|0.5时，视为低度相关4.|r|0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关5.上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上相关系数(例题分析)用Excel计算相关系数相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验(检验的步骤)1.检验两个变量之间是否存在线性相关关系2.等价于对回归系数b1的检验3.采用R.A.Fisher提出的t检验4.检验的步骤为•提出假设：H0：；H1：0)2(~122ntrnrt计算检验的统计量：确定显著性水平，并作出决策•若tt，拒绝H0•若tt，不拒绝H0相关系数的显著性检验(例题分析)对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检验(0.05)1.提出假设：H0：；H1：02.计算检验的统计量5344.78436.012258436.02t3.根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.069由于t=7.5344t(25-2)=2.069，拒绝H0，不良贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系相关系数的显著性检验(例题分析)各相关系数检验的统计量11.2一元线性回归11.2.1一元线性回归模型11.2.2参数的最小二乘估计11.2.3回归直线的拟合优度11.2.4显著性检验什么是回归分析？(Regression)1.从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式2.对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著3.利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度回归模型的类型线性回归非线性回归一元回归线性回归非线性回归多元回归回归模型一元线性回归模型一元线性回归1.涉及一个自变量的回归2.因变量y与自变量x之间为线性关系•被预测或被解释的变量称为因变量(dependentvariable)，用y表示•用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independentvariable)，用x表示3.因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示回归模型(regressionmodel)1.回答“变量之间是什么样的关系？”2.方程中运用•1个数值型因变量(响应变量)被预测的变量•1个或多个数值型或分类型自变量(解释变量)用于预测的变量3.主要用于预测和估计一元线性回归模型1.描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项的方程称为回归模型2.一元线性回归模型可表示为y=b+b1x+•y是x的线性函数(部分)加上误差项•线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变化•误差项是随机变量反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性•b0和b1称为模型的参数一元线性回归模型(基本假定)1.因变量x与自变量y之间具有线性关系2.在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的3.误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0。对于一个给定的x值，y的期望值为E(y)=b0+b1x4.对于所有的x值，ε的方差σ2都相同5.误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即ε~N(0,σ2)•独立性意味着对于一个特定的x值，它所对应的ε与其他x值所对应的ε不相关•对于一个特定的x值，它所对应的y值与其他x所对应的y值也不相关一元线性回归模型(基本假定)x=x3时的E(y)x=x2时y的分布x=x1时y的分布x=x2时的E(y)x3x2x1x=x1时的E(y)b0xyx=x3时y的分布b0+b1x回归方程(regressionequation)1.描述y的平均值或期望值如何依赖于x的方程称为回归方程2.一元线性回归方程的形式如下3.E(y)=b0+b1x方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程b0是回归直线在y轴上的截距，是当x=0时y的期望值b1是直线的斜率，称为回归系数，表示当x每变动一个单位时，y的平均变动值估计的回归方程(estimatedregressionequation)3.一元线性回归中估计的回归方程为2.用样本统计量和代替回归方程中的未知参数和，就得到了估计的回归方程0ˆb1ˆb0b1b1.总体回归参数和是未知的，必须利用样本数据去估计0b1bxy10ˆˆˆbb+其中：是估计的回归直线在y轴上的截距，是直线的斜率，它表示对于一个给定的x的值，是y的估计值，也表示x每变动一个单位时，y的平均变动值0ˆb1ˆbyˆ参数的最小二乘估计最小二乘估计(methodofleastsquares)最小niiiniixyyy121012)ˆˆ()ˆ(bb1.德国科学家KarlGauss(1777—1855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数2.使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得和的方法。即3.用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小0ˆb1ˆbKarlGauss的最小化图xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)ei=yi-yi＾xy10ˆˆˆbb+相关分析中x与y对等，回归分析中x与y要确定自变量和因变量；相关分析中x、y均为随机变量，回归分析中只有y为随机变量；相关分析测定相关程度和方向，回归分析用回归模型进行预测和控制。回归分析与相关分析区别：总体一元线性回归模型：bb++XY10ˆ模型参数误差项假定：E()=0总体一元线性回归方程：XY10ˆbb+一元线性回归方程的几何意义)(YEXXYb+ˆ截距斜率一元线性回归方程的可能形态b为正b为负b为0回归直线的拟合BXAYEY+ˆ总体一元线性回归方程:样本一元线性回归方程：bxay+ˆ以样本统计量估计总体参数斜率（回归系数）截距截距a表示在没有自变量x的影响时，其它各种因素对因变量y的平均影响；回归系数b表明自变量x每变动一个单位，因变量y平均变动b个单位。(估计的回归方程)iiiiybxayyyxbxay++++ˆ)(ˆ值应为的实际而变量之间的平均变动关系，变量与是理论模型，表明随机干扰：各种偶然因素、观察误差和其他被忽视因素的影响X对y的线性影响而形成的系统部分，反映两变量的平均变动关系，即本质特征。一元线性回归方程中参数a、b的确定：bxay+ˆ最小平方法基本数学要求min)ˆ(0ˆ2yyyy02012min,min)ˆ(22xbxaybxaybabxayyy，有求偏导数，并令其为零、分别对函数中，有由整理得