28平面向量的数量积课件

2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》360tan,145tan,3330tan2160cos,2245cos,2330cos2360sin,2245sin,2130sin学习目标•1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；•2.理解投影概念；•3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；•4.平面向量的数量积简单应用；•5.掌握向量垂直的条件.•教学重点：平面向量的数量积定义•教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用问题1:我们研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？一探究？问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，（１）力F所做的功W=。（２）请同学们分析这个公式的特点：W（功）是量，F（力）是量，S（位移）是量θ是。FS探究数量积的含义功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。已知非零向量与，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即规定||||cosabababab||||cosabab其中θ是与的夹角，叫做向量在方向上（在方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，即。ab||cos(||cos)bababa00aθBB1OAab二、平面向量的数量积1、定义||180.0,cos||||.||01bababababbOB，bab方向上的射影在时方向上的射影是负数在为钝角时方向上的射影是在为直角时方向上的射影是正数在为锐角时是方向上的射影在时1800（1）定义：（2）定义的简单说明：2、数量积的定义夹角的范围问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：cosbaba9009018090的正负ba３、研究数量积的几何意义（1）给出向量投影的概念（2）问题６：数量积的几何意义是什么？4、研究数量积的物理意义问题７:（1）功的数学本质是什么？（2）尝试练习一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功的大小。①、在水平面上位移为10米；②、竖直下降10米；；③、竖直向上提升10米④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；SGGSSG)120cos(SGWSGWSGW0W②、竖直下降10米；③、竖直向上提升10米；①、在水平面上位移为10米；④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米；GS探究数量积的运算性质问题８：（1）将问题①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？（2）比较的大小，你有什么结论？1、性质的发现baba与2、数量积的性质设向量与都是非零向量，则（1）=0（2）当与同向时，=||||当与反向时，=-||||特别地，·=︱︱或︱︱=（3）︱︱≤aba⊥bba·aabbababba·||||ba·aaaa2baaaba·3、性质的证明探究数量积的运算律1、运算律的发现问题９:我们学过了实数乘法的那些运算律？这些运算律对向量是否也适用？学生可能的回答:①a·b=b·a②（a·b）c=a(b·c)③（a+b）·c=a·c+b·c2、运算律已知向量和实数λ，则：cba,,abba)1(bababa(2)cbcacba(3)3、运算律的证明应用与提高互相垂直？与向量为何值时，不共线，与，，、已知例bkabkakbaba432例1已知|a|=5，|b|=4，(1)a与b的夹角θ=120o，求a·b.(2)a∥b求a·b.(3)a⊥b求a·b？，求的夹角为与，，、已知例.3260463babababaACBCCABCCbaABC,,60,8,5,中在cbcabaababa则，若，有，则对任一非零向量若正确，并说明理由、判断下列各命题是否,0)2(00)1(1的形状。时，试判断或当中，、已知ABCbababACaABABC00,,2学生练习)2()(,60,1||,2||:4?)()(60,1||,2||:3baba：bababkabakbaba求夹角是与已知为何值时夹角是与已知120||4,||2,||;|34|.abababab2.已知与的夹角为，求：,0||3,||1,||4,.abcabcabcabbcca3.已知,满足+，　　求：的值4.,(23)(4),.ababkabk若是互相垂直的单位向量，且　　求实数的值225.1,2,()0,ababaab已知求与的夹角.0||3,||5,||7,.abcabcab6.已知+，　求与的夹角的夹角与求已知ba。ba，b，a、16||10||8|:|11.,60,3|abab已知均为单位向量，它们的夹角为求|2.,||1||2,||2,|abababab已知满足：，求|3.,,||2||1,||3,ABCABBCCAABBCBCCACAAB已知平面上三点满足：，求4.,:(2),(2),,ababababab已知非零向量满足　求的夹角1..几何问题：求证：菱形的对角线互相垂直ABCD2.求证：直径所对的圆周角为直角.ACBO3.求证：三角形的三条高交于一点.AEDCBFH基础练习1、判断下列命题的真假:2、已知△ABC中，a=5，b=8，C=600，求BCCAABC3、已知|a|=8，e是单位向量，当它们之间的夹角为则a在e方向上的投影为,3（1）平面向量的数量积可以比较大小（2）（3）已知b为非零向量因为0×a=0，a·b=0,所以a=0(4)对于任意向量a、b、c，都有a·b·c=a·（b·c）0,.abab若则与的夹角为钝角,1:平行且方向相同与因为解BCAD.0的夹角为与BCAD91330cosBCADBCAD且方向相反平行与,.2CDAB180的夹角是与CDAB16144180cosCDABCDAB,60.3的夹角是与ADAB120的夹角是与DAAB62134120cosDAABDAAB进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。92ADBCAD或162ABCDAB或1204、BCADDABADABABCD.1:,60,3,4,,求已知中在平行四边形如图CDAB.2DAAB.3BACD60)(,,\1cbacaba；cba求证且是非零向量已知余弦两点坐标表示试用有两点单位长度为半径的圆上以原点为原心在直角坐标系中已知AOBBAB），A（，，：,),sin,(cos,sincos\2)sin,(cosA)sin,(cosB))(()(,22222dcbabdacRa、、b、c、：恒有不等式对任意证明课堂小结1、本节课我们学习的主要内容是什么？2、学习了向量数量积的哪些应用？思考:由向量的数量积怎样求向量长度和夹角?返回