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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 高考数学百大经典例题——不等式证明
北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台典型例题一例1若10x,证明)1(log)1(logxxaa(0a且1a).分析1用作差法来证明.需分为1a和10a两种情况,去掉绝对值符号,然后比较法证明.解法1(1)当1a时,因为11,110xx,所以)1(log)1(logxxaa)1(log)1(logxxaa0)1(log2xa.(2)当10a时,因为11,110xx所以)1(log)1(logxxaa)1(log)1(logxxaa0)1(log2xa.综合(1)(2)知)1(log)1(logxxaa.分析2直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号.解法2作差比较法.因为)1(log)1(logxxaaaxaxlg)1lg(lg)1lg()1lg()1lg(lg1xxa)1lg()1lg(lg1xxa北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台0)1lg(lg12xa,所以)1(log)1(logxxaa.说明:解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在变形中脱去绝对值符号;解法二用对数性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法自然简捷、明快.典型例题二例2设0ba,求证:.abbababa分析:发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值与1的大小关系,从而证明不等式.证明:baabbaabbababababa)(∵0ba,∴.0,1baba∴1)(baba.∴abbababa.1又∵0abba,∴.abbababa.说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是:判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三例3对于任意实数a、b,求证444()22abab(当且仅当ab时取等号)分析这个题若使用比较法来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有4()2ab,展开后很复杂。若使用综合法,从重要不等式:222abab出发,再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。证明:∵222abab(当且仅当22ab时取等号)北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台两边同加4444222():2()()ababab,即:44222()22abab(1)又:∵222abab(当且仅当ab时取等号)两边同加22222():2()()ababab∴222()22abab∴2224()()22abab(2)由(1)和(2)可得444()22abab(当且仅当ab时取等号).说明:此题参考用综合法证明不等式.综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明,要注意均值不等式的变形应用,一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解.典型例题四例4已知a、b、cR,1abc,求证1119.abc分析显然这个题用比较法是不易证出的。若把111abc通分,则会把不等式变得较复杂而不易得到证明.由于右边是一个常数,故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式,比如baab,再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径,这也常称为“凑倒数”的技巧.证明:∵1abc∴111abcabcabcabcabc(1)(1)(1)bcacabaabbcc3()()()bacacbabacbc∵22babaabab,同理:2caac,2cbbc。北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台∴11132229.abc说明:此题考查了变形应用综合法证明不等式.题目中用到了“凑倒数”,这种技巧在很多不等式证明中都可应用,但有时要首先对代数式进行适当变形,以期达到可以“凑倒数”的目的.典型例题五例5已知cba,求证:accbba111>0.分析:此题直接入手不容易,考虑用分析法来证明,由于分析法的过程可以用综合法来书写,所以此题用两种方法来书写证明过程.证明一:(分析法书写过程)为了证明accbba111>0只需要证明cbba11>ca1∵cba∴0,0cbbaca∴cbcaba1,11>0∴cbba11>ca1成立∴accbba111>0成立证明二:(综合法书写过程)∵cba∴0,0cbbaca∴ba1>ca1cb1>0∴cbba11>ca1成立∴accbba111>0成立说明:学会分析法入手,综合法书写证明过程,但有时这两种方法经常混在一起应用,混合应用时,应用语言叙述清楚.典型例题六例6若0,0ab,且2cab,求证:北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台22.ccabaccab[来源:学科网]分析这个不等式从形式上不易看出其规律性,与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系,所以可以采用分析的方法来寻找证明途径.但用“分析”法证不等式,要有严格的格式,即每一步推出的都是上一步的充分条件,直到推出的条件是明显成立的(已知条件或某些定理等).证明:为要证22.ccabaccab只需证22cabaccab,即证2accab,也就是22()accab,即证22aacab,即证2()acaab,∵0,2,0acabb,∴2abcab,故2cab即有20cab,又由2cab可得2()acaab成立,∴所求不等式22ccabaccab成立.说明:此题考查了用分析法证明不等式.在题目中分析法和综合法是综合运用的,要注意在书写时,分析法的书写过程应该是:“欲证……需证……”,综合法的书写过程是:“因为(∵)……所以(∴)……”,即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混.典型例题七例7若233ba,求证2ba.分析:本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法.证法一:假设2ba,则)(2))((222233babababababa,而233ba,故1)(22baba.∴abbaab2122.从而1ab,北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台∴2122abba.[来源:Zxxk.Com]∴4222)(222ababbaba.∴2ba.这与假设矛盾,故2ba.证法二:假设2ba,则ba2,故3333)2(2bbba,即261282bb,即0)1(2b,这不可能.从而2ba.证法三:假设2ba,则8)(3)(333baabbaba.由233ba,得6)(3baab,故2)(baab.又2))((2233babababa,∴))(()(22babababaab.∴abbaba22,即0)(2ba.这不可能,故2ba.说明:本题三种方法均采用反证法,有的推至与已知矛盾,有的推至与已知事实矛盾.一般说来,结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句,或结论以否定语句出现,或结论肯定“过头”时,都可以考虑用反证法.典型例题八例8设x、y为正数,求证33322yxyx.分析:用综合法证明比较困难,可试用分析法.证明:要证33322yxyx,只需证233322)()(yxyx,即证6336642246233yyxxyyxyxx,化简得334224233yxyxyx,0)323(2222yxyxyx.∵0334422yy,∴032322yxyx.北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台∴0)323(2222yxyxyx.∴原不等式成立.说明:1.本题证明易出现以下错误证法:xyyx222,323233332yxyx,然后分(1)1yx;(2)1yx;(3)1x且10y;(4)1y且10x来讨论,结果无效.2.用分析法证明数学问题,要求相邻两步的关系是BA,前一步是后一步的必要条件,后一步是前一步的充分条件,当然相互为充要条件也可以.典型例题九例9已知2122yx,求证32122yxyx.分析:联想三角函数知识,进行三角换元,然后利用三角函数的值域进行证明.证明:从条件看,可用三角代换,但需要引入半径参数r.∵2122yx,∴可设cosrx,sinry,其中2021,r.∴)2sin211(cossin22222rrryxyx.由232sin21121,故22223)2sin211(21rrr.而21212r,3232r,故32122yxyx.说明:1.三角代换是最常见的变量代换,当条件为222ryx或222ryx或12222byax时,均可用三角代换.2.用换元法一定要注意新元的范围,否则所证不等式的变量和取值的变化会影响其结果的正确性.典型例题十例10设n是正整数,求证121211121nnn.分析:要求一个n项分式nnn212111的范围,它的和又求不出来,可以采用“化整为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围.证明:由),,2,1(2nknknn,得nknn1121.北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台当1k时,nnn11121;当2k时,nnn12121……当nk时,nnnn1121.∴1212111221nnnnnnn.说明:1、用放缩法证明不等式,放缩要适应,否则会走入困境.例如证明4712111222n.由kkk11112,如果从第3项开始放缩,正好可证明;如果从第2项放缩,可得小于2.当放缩方式不同,结果也在变化.2、放缩法一般包括:用缩小分母,扩大分子,分式值增大;缩小分子,扩大分母,分式值缩小;全量不少于部分;每一次缩小其和变小,但需大于所求,第一次扩大其和变大,但需小于所求,即不能放缩不够或放缩过头,同时放缩后便于求和.典型例题十一例11已知0ba,求证:bbaabbaaba8)(28)(22.分析:欲证不等式看起来较为“复杂”,宜将它化为较“简单”的形式,因而用分析法证明较好.证明:欲证bbaabbaaba8)(28)(22,只须证bbaabbaaba4)(24)(22.即要证2222)(2bbabaaba,即要证bbabaaba22.即要证bbaaba212,即要证bbaaba2.即要证121baab,即baab1.北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台即要证baab1(*)∵0ba,∴(*)显然成立,故bbaabbaaba8)(28)(22说明:分析法证明不等式,实质上是寻求结论成立的一个充分条件.分析法通常采用“欲证——只要证——即证——已知”的格式.典型例题十二例12如果x,y,zR,求证:332332332888yxzxzyzyxzyx.分析:注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态,而右边却结合在一起,因而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能(保持两边项数相同),由0)()()(222accbba,易得cabcabcba222,此式的外形特征符合要求,因此,我们用如下的结合法证明.证明:∵242424888)()()(zyxzyx
本文标题:高考数学百大经典例题——不等式证明
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