数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学

1/13数列专题复习一、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断方法：定义法1(nnaadd为常数）或11(2)nnnnaaaan。如设{}na是等差数列，求证：以bn=naaan21*nN为通项公式的数列{}nb为等差数列。2、等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanmd。如(1)等差数列{}na中，1030a，2050a，则通项na（答：210n）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d）3、等差数列的前n和：1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad。如（1）数列{}na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前n项和152nS，则1a＝＿，n＝＿（答：13a，10n）；（2）已知数列{}na的前n项和212nSnn，求数列{||}na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN）.4、等差中项：若,,aAb成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad,…（公差为2d）5、等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.2/13（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.如（1）等差数列{}na中，12318,3,1nnnnSaaaS，则n＝____（答：27）；(4)若{}na、{}nb是等差数列，则{}nka、{}nnkapb(k、p是非零常数)、*{}(,)pnqapqN、232,,nnnnnSSSSS，…也成等差数列，而{}naa成等比数列；若{}na是等比数列，且0na，则{lg}na是等差数列.如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（答：225）（5）在等差数列{}na中，当项数为偶数2n时，SSnd偶奇－；项数为奇数21n时，SSa奇偶中，21(21)nSna中（这里a中即na）；1-n:nS偶奇：S。如（1）在等差数列中，S11＝22，则6a＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列{}na中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.（6）若等差数列{}na、{}nb的前n和分别为nA、nB，且()nnAfnB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.如设{na}与{nb}是两个等差数列，它们的前n项和分别为nS和nT，若3413nnTSnn，那么nnba___________（答：6287nn）(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{}na中，125a，917SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大3/13值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}na是等差数列，首项10,a200320040aa，200320040aa，则使前n项和0nS成立的最大正整数n是（答：4006）（3）在等差数列na中，10110,0aa，且1110||aa，nS是其前n项和，则（）A、1210,SSS都小于0，1112,SS都大于0B、1219,SSS都小于0，2021,SS都大于0C、125,SSS都小于0，67,SS都大于0D、1220,SSS都小于0，2122,SS都大于0（答：B）(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab.二、等比数列的有关概念：1、等比数列的判断方法：定义法1(nnaqqa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。如（1）一个等比数列{na}共有21n项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1na为____（答：56）；（2）数列{}na中，nS=41na+1(2n)且1a=1，若nnnaab21，求证：数列｛nb｝是等比数列。2、等比数列的通项：11nnaaq或nmnmaaq。如等比数列{}na中，166naa，21128naa，前n项和nS＝126，求n和q.（答：6n，12q或2）3、等比数列的前n和：当1q时，1nSna；当1q时，1(1)1nnaqSq11naaqq。如（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求9963aaa（答：44）；（2）)(1010nnkknC的值为__________（答：2046）；4/13特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分1q和1q两种情形讨论求解。4、等比中项：若,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数,()abab的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,aaaaqaqqq…（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为…33,,,aqaqqaqa，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）5.等比数列的性质：（1）当mnpq时，则有mnpqaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.如（1）在等比数列{}na中，3847124,512aaaa，公比q是整数，则10a=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{}na中，若569aa，则3132310logloglogaaa（答：10）。(2)若{}na是等比数列，则{||}na、*{}(,)pnqapqN、{}nka成等比数列；若{}{}nnab、成等比数列，则{}nnab、{}nnab成等比数列；若{}na是等比数列，且公比1q，则数列232,,nnnnnSSSSS，…也是等比数列。当1q，且n为偶数时，数列232,,nnnnnSSSSS，…是常数数列0，它不是等比数列.如（1）已知0a且1a，设数列{}nx满足1log1logananxx(*)nN，且5/1312100100xxx，则101102200xxx.（答：100100a）；（2）在等比数列}{na中，nS为其前n项和，若140,1330101030SSSS，则20S的值为______（答：40）(3)若10,1aq，则{}na为递增数列；若10,1aq,则{}na为递减数列；若10,01aq，则{}na为递减数列；若10,01aq,则{}na为递增数列；若0q，则{}na为摆动数列；若1q，则{}na为常数列.(4)当1q时，baqqaqqaSnnn1111，这里0ab，但0,0ab，是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据nS，判断数列{}na是否为等比数列。如若{}na是等比数列，且3nnSr，则r＝（答：－1）(5)mnmnmnnmSSqSSqS.如设等比数列}{na的公比为q，前n项和为nS，若12,,nnnSSS成等差数列，则q的值为_____（答：－2）(6)在等比数列{}na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS奇偶.(7)如果数列{}na既成等差数列又成等比数列，那么数列{}na是非零常数数列，故常数数列{}na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列na的前n项和为nS（Nn），关于数列na有下列三个命题：①若)(1Nnaann，则na既是等差数列又是等比数列；②若RbanbnaSn、2，则na是等差数列；③若nnS11，则na是等比数列。这些命题中，真命题的序号是（答：②③）三、数列通项公式的求法一、公式法①)2()111nSSnSannn（；②na等差、等比数列na公式.6/13例已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。二、累加法例已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。例已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式1231nnnaa转化为1231nnnaa，进而求出11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。三、累乘法例已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。四、取倒数法例已知数列{na}中，其中,11a，且当n≥2时，1211nnnaaa，求通项公式na。解将1211nnnaaa两边取倒数得：2111nnaa，这说明}1{na是一个等差数列，7/13首项是111a，公差为2，所以122)1(11nnan，即121nan.五、待定系数法例已知数列{}na满