2020高职高考数学复习第二章不等式2.3-不等式的解法

【知识回顾】1.一元一次不等式的解法(1)一元一次不等式axb(a≠0)的解集情况是①当a0时,解集为{x|x𝒃𝒂}②当a0时,解集为{x|x𝒃𝒂}(2)两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解集情况,可以归结为以下四种基本类型:类型(设ab)解集数轴表示𝒙𝑎𝒙𝑏xb𝒙𝑎𝒙𝑏xa𝒙𝑎𝒙𝑏axb𝒙𝑎𝒙𝑏Ø2.一元二次不等式的解法一般的一元二次不等式可利用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c的有关性质求解,具体见下表:a0,Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c的图象一元二次方程ax2+bx+c=0的根有两实根x=x1或x=x2有两个相等的实根x=x1=x2=-𝒃𝟐𝒂无实根一元二次不等式的解集不等式ax2+bx+c0的解集{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}R不等式ax2+bx+c0的解集{x|x1xx2}∅∅注:1.解一元二次不等式的步骤:(1)把二次项的系数a变为正的.(如果a0,那么在不等式两边都乘以-1,把系数变为正)(2)解对应的一元二次方程.(先看能否因式分解,若不能,再看Δ,然后求根)(3)求解一元二次不等式.(根据一元二次方程的根及不等式的方向)2.当a0且Δ0时,一元二次不等式的解集的口诀:“小于号取中间,大于号取两边”.3.含有绝对值的不等式的解法(1)绝对值的概念|a|=𝒂𝟎−𝒂(a0)(2)含绝对值不等式的解:①|x|a(a0)⇔-axa②|x|≥a(a0)⇔x≤-a或x≥a③|f(x)|≤a(a0)⇔-a≤f(x)≤a⇔𝒇(𝒙)≥−𝒂𝒇(𝒙)≤𝒂④|f(x)|a(a0)⇔f(x)-a或f(x)a注:当a≤0时,|x|a无解,|x|a的解集为全体实数.4.()0(0)()()0(0).()()(1)0()()0()()(2)0()()0()()()0()(3)0()0()()()0()(4)0()0()fxgxfxgxfxfxgxgxfxfxgxgxfxgxfxgxgxfxgxfxgxgx分式不等式的解法将原分式不等式通过移项、通分整理成或的形式，再转化为整式不等式求解2225.()0}(1)()()()0()()()0(2)()(0)()()0(3)()(0)()()fxfxgxgxfxgxfxfxaafxafxfxaafxafxa无理不等式的解法定义域型型型【例题精解】（1）【解】𝟐𝒙−𝟏𝟑1−𝟒𝒙+𝟑𝟐(𝒙−𝟏)𝟐(𝒙+𝟏)𝟐−𝟒①由不等式①,得x-𝟏𝟏𝟔由不等式②,得x1所以原不等式组化成𝒙−𝟏𝟏𝟔𝒙1即原不等式的解集为{x|-𝟏𝟏𝟔x1}(或记作(-𝟏𝟏𝟔,1))(在数轴上如上图所示)【例1】解下列不等式组,并在数轴上表示出它们的解集:(1)𝟐𝒙−𝟏𝟑𝟏−𝟒𝒙+𝟑𝟐(𝒙−𝟏)𝟐(𝒙+𝟏)𝟐−𝟒(2)𝒙−𝟐𝟎𝒙−𝟓𝟎𝒙−𝟖𝟎(2)【分析】由三个一元一次不等式组成的不等式组,经过整理后,至少有两个不等式的不等号是同向的,因此,在求它们的解集的交集时,可先将这两个不等式化成一个不等式.【解】经过整理得𝒙𝟐𝒙𝟓𝒙𝟖将这个不等式组化成两个不等式组成的不等式组𝒙𝟓𝒙𝟖即得5x8∴原不等式组的解集为{x|5x8}(右图)(1)【分析】两个式子的积大于0,那么,这两个式子或者都大于0,或者都小于0;【解法一】解原不等式等价于(1)𝟑𝒙−𝟒𝟎𝟐𝒙+𝟏𝟎或(2)𝟑𝒙−𝟒𝟎𝟐𝒙+𝟏𝟎不等式组(1)的解集是x𝟒𝟑;不等式组(2)的解集是x-𝟏𝟐∴原不等式组的解集为{x|x𝟒𝟑或x-𝟏𝟐}(或记作(-∞,-𝟏𝟐)∪(𝟒𝟑,+∞)).【分析】如果按照分解因式转化为不等式组解,比较麻烦,可以利用函数y=(3x-4)(2x+1)的图象,找出这条抛物线与x轴的交点(即(3x-4)(2x+1)=0的根),进而得到不等式的解集(或直接用数轴标根法).【解法二】因为(3x-4)(2x+1)=0的根是𝟒𝟑,-𝟏𝟐,将根标在数轴上,二次函数y=(3x-4)(2x+1)的草图为(如图)∴原不等式组的解集为{x|x𝟒𝟑或x-𝟏𝟐}.【例2】解下列不等式(1)(3x-4)(2x+1)0(2)-x2-x+120(2)【分析】将不等式的两边同时乘以-1,再因式分解为(x-3)(x+4)0,两个式子的积小于0,则这两个式子的值的符号相反.【解法一】两边同乘以-1,得x2+x-120,化为(x-3)(x+4)0原不等式可等价于(1)𝒙−𝟑𝟎𝒙+𝟒𝟎或(2)𝒙−𝟑𝟎𝒙+𝟒𝟎(1)的解集是∅;(2)的解集是-4x3∴原不等式组的解集为{x|-4x3}(或记作(-4,3))【解法二】两边同乘以-1,得x2+x-120,化为(x-3)(x+4)0∵(x-3)(x+4)=0的根是-4,3,将根标在数轴上(数轴标根法)(如图)∴原不等式组的解集为{x|-4x3}注:若将第(1)题换成(3x-4)(2x+1)≥0,则解集为{x|x≥𝟒𝟑或x≤-𝟏𝟐}【点评】在解一元二次不等式时,如果二次项系数是负数,一般先在不等式两边同乘以-1,使二次项系数变成正数,并把不等号改变方向,然后再求解.【解】原不等式化为3x2-6x+2≤0∵3x2-6x+2=0的根是x1=1-𝟑𝟑,x2=1+𝟑𝟑,∴原不等式组的解集为[1-𝟑𝟑,1+𝟑𝟑]【例3】解不等式-3x2≥-6x+2【例4】解下列不等式(1)𝟐𝒙−𝟑𝟐−𝟑𝒙0(2)𝟑𝒙−𝟓𝒙+𝟏1【分析】当分式不等式化为𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)0(或0)时,与不等式f(x)·g(x)0(或0)同解.【解】(1)原不等式等价于(2x-3)(2-3x)0,即(2x-3)(3x-2)0∵(2x-3)(3x-2)=0的根是𝟐𝟑,𝟑𝟐,将根标在数轴上(如图)∴原不等式的解集为(-∞,𝟐𝟑)∪(𝟑𝟐,+∞).(2)移项,通分得𝟐𝒙−𝟔𝒙+𝟏0即𝒙−𝟑𝒙+𝟏0(x-3)(x+1)0∵(x-3)(x+1)=0的根是-1,3(如图),∴原不等式的解集为(-1,3).【解】移项,通分得𝟓𝒙−𝟓𝟑−𝒙≤0,即𝒙−𝟏𝒙−𝟑≥0转化为(𝒙−𝟏)(𝒙−𝟑)≥𝟎𝒙−𝟑≠𝟎由数轴标根法得,所求不等式的解集为{x|x3或x≤1}(或记作(-∞,1]∪(3,+∞))【例5】解不等式𝟏+𝟑𝒙𝟑−𝒙≤2.(2)原不等式等价于-83x-58即-1x𝟏𝟑𝟑∴原不等式的解集是(-1,𝟏𝟑𝟑)【例6】解下列不等式(1)|x-2|3(2)|3x-5|8(3)|1-2x|≤5【解】(1)原不等式等价于x-23或x-2-3即x5或x-1∴原不等式的解集是{x|x5或x-1}(3)原不等式等价于-5≤1-2x≤5即-6≤-2x≤4-2≤x≤3,综上所述,原不等式的解集是[-2,3]【点评】第(3)题中注意除以负数要改变方向,此题也可先把|1-2x|≤5化为|2x-1|≤5形式再求解,这样就避免了除以负数.【解】∵根式有意义∴必须有:𝟑𝒙−𝟒≥𝟎𝒙−𝟑≥𝟎⇒x≥3又有∵原不等式可化为𝟑𝒙−𝟒𝒙−𝟑两边平方得:3x-4x-3解之得x𝟏𝟐∴原不等式的解集是{x|x≥3}∩{x|x𝟏𝟐}={x|x≥3}【点评】解无理不等式——关键是把它同解变形为有理不等式组.【例7】解不等式𝟑𝒙−𝟒-𝒙−𝟑0.2284.xx【例8】解不等式22242804246,462816{|4246}.xxxxxxxxxxxx【解】原不等式等价于或或原不等式的解集为或【同步训练一】【答案】C一、选择题1.不等式-8≤x15写成区间形式是()A.(15,-8)B.(-8,15]C.[-8,15)D.[-8,15]【答案】A2.不等式-2x-6的解集是()A.{x|x3}B.{x|x-3}C.{x|x3}D.{x|x-3}【答案】A3.不等式(2x+1)(5-x)0的解集是()A.(-𝟏𝟐,5)B.(-𝟏𝟐,-5)C.(-∞,-𝟏𝟐)∪(5,+∞)D.(-∞,-5)∪(-𝟏𝟐,+∞)【答案】C4.不等式x2+12x+360的解集是()A.∅B.RC.{x|x≠-6}D.{x|x-6或x6}【答案】D5.不等式-2x2-5x+30的解集是()A.RB.∅C.{x|-3x𝟏𝟐}D.{x|x-3或x𝟏𝟐}【答案】B6.在下列不等式中,解集为空集的是()A.x2-2x-30B.x2-2x+30C.x2+2x-30D.x2+2x+30【答案】A7.不等式2x2-3x+50的解集是()A.RB.∅C.{x|x0}D.{x|x0}【答案】B8.不等式-2x2+4x-50的解集是()A.RB.∅C.(0,+∞)D.(-∞,0)【答案】B9.设集合M={x|1≤x≤3},N={x|2≤x≤4},则M∩N=()A.{x|1≤x≤4}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x≤2}D.{x|3≤x≤4}【答案】C10.设P={x|x2-4x+30},Q={x|x(x-1)2},则P∩Q=()A.{x|x3}B.{x|-1x2}C.{x|2x3}D.{x|1x2}{x|x≠1}(-∞,-𝟐)∪(𝟐,+∞)二、填空题11.不等式x2-2x+10解集是,不等式x2-2x+1≥0的解集是.12.已知函数y=-2x2+12x-18,那么当x∈时,y0.当x∈时,y0;当x∈时,y=0.13.不等式2x2+4x2+6的解集是.15.如果以x为未知数的方程mx2-(1-m)x+m=0没有实数根,那么m的取值范围是.R{x|x≠3}∅{x|x=3}[-1,1](-∞,-1)∪(𝟏𝟑,+∞)2114.04xbxb若不等式的解集为空集，则的取值范围是三、解答题16.解不等式2(x-2)-𝒙+𝟏𝟐𝟐𝒙𝟑+1.【解】原不等式两边同乘以6,得12x-24-3x-34x+6整理得5x33∴x𝟑𝟑𝟓∴原不等式解集为{x|x𝟑𝟑𝟓}.17.解下列不等式组,并把解集在数轴上表示(1)𝒙𝟐≤𝒙+𝟏𝟓𝟐𝒙−𝟏𝟓≤𝒙+𝟏𝟐(2)𝟑+𝒙4+2𝒙𝟓𝒙−𝟑4𝒙−𝟏𝟕+𝟐𝒙6+3𝒙【解】(1)原不等式组等价于𝒙≤𝟐𝟑𝒙≥−𝟕∴原不等式组解集为{x|-7≤x≤𝟐𝟑}(如图)(2)原不等式组等价于𝒙−𝟏𝒙𝟐𝒙𝟏∴原不等式组的解集为{x|-1x1}(如图)18.解下列不等式,并把解集在数轴上表示.(1)(7x+3)(4-3x)0(2)(x-3)(x-4)-1【解】(1)原不等式等价于(7x+3)(3x-4)0∵方程(7x+3)(3x-4)=0的根为-𝟑𝟕,𝟒𝟑.∴原不等式的解集为(-𝟑𝟕,𝟒𝟑)(2)原不等式等价于x2-7x+130∵Δ=(-7)2-4×13=-30∴原不等式的解集为R.【同步训练二】【答案】C一、选择题1.不等式𝒙+𝟏𝒙−𝟏≤0的解集是()A.[-1,1]B.(-1,1]C.[-1,1)D.(-∞,-1]∪(1,+∞)【答案】C2.不等式𝒙−𝟑𝒙+𝟐1的解集是()A.(-2,+∞