高二文科数学《立体几何》经典练习题(含解析)

1FAECOBDM(第2题图)A1B1C1D1ABCDE高二文科数学《立体几何》大题训练试题1．(本小题满分14分)如图的几何体中，AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，22ADDEAB，F为CD的中点．（1）求证：//AF平面BCE；（2）求证：平面BCE平面CDE。2．(本小题满分14分)GGkkSSttKK如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且2AB，1ADEF.(1)求证：AF平面CBF；(2)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；(3)求三棱锥F－CBE的体积.3.（本小题满分14分）如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，90ADE，DEAF//，22AFDADE.(Ⅰ)求证：//AC平面BEF；（Ⅱ）求四面体BDEF的体积.4．如图,长方体1111DCBAABCD中，11AAAB,2AD,E是BC的中点.(Ⅰ)求证：直线//1BB平面DED1；(Ⅱ)求证：平面AEA1平面DED1；(Ⅲ)求三棱锥DEAA1的体积.5．（本题满分14分）如图，己知BCD中，090BCD，1,BCCDABBCD平面，060,,AC,ADADBEF分别是上的动点，且AEAF==,(01)ACADABCDFEBAEDCF2ABCD图2BACD图1（1）求证：不论为何值，总有EFABC;平面（2）若1=,2求三棱锥A-BEF的体积．6.(本小题满分13分)如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：BC⊥平面APC；(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D—BCM的体积．7、（本小题满分14分）如图1,在直角梯形ABCD中,90ADC,//CDAB,2,1ABADCD.将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示.(1)求证:BC平面ACD；(2)求几何体DABC的体积.8、（本小题满分14分）已知四棱锥PABCD(图5)的三视图如图6所示，PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥PABCD的体积；（3）求证：AC平面PAB；3FAECOBDM参考答案1．(本小题满分14分)（1）证明：取CE的中点G，连结FGBG、．∵F为CD的中点，∴//GFDE且12GFDE．∵AB平面ACD，DE平面ACD，∴//ABDE，∴//GFAB．又12ABDE，∴GFAB．…………3分∴四边形GFAB为平行四边形，则//AFBG．……………5分∵AF平面BCE，BG平面BCE，∴//AF平面BCE．…………7分（2）证明：∵ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AFCD…………9分∵DE平面ACD，AFACD平面，∴DEAF．……………10分又CDDED，∴AF平面CDE．……………………………12分∵//BGAF，∴BG平面CDE．…………………………………13分∵BG平面BCE，∴平面BCE平面CDE．………………14分2．解：（1）平面ABCD平面ABEF，CBAB,平面ABCD平面ABEFAB，CB平面ABEF，∵AF平面ABEF，∴AFCB，………2分又AB为圆O的直径，∴AFBF，∴AF平面CBF.………4分（2）设DF的中点为N，则MN//12CD，又AO//12CD，则MN//AO，四边形MNAO为平行四边形，∴//OMAN，又AN平面DAF，OM平面DAF，∴//OM平面DAF.……8分（3）∵BC面BEF，∴13FCBECBEFBEFVVSBC，B到EF的距离等于O到EF的距离，过点O作OGEF于G，连结OE、OF，∴OEF为正三角形，∴OG为正OEF的高，∴3322OGOA，………11分BAEDCFG4∴13FCBECBEFBEFVVSBC……12分111133113232212EFOGBC。………14分3、(Ⅰ)证明：设ACBDO，取BE中点G，连结OGFG,，所以，OG//12DE…2分因为DEAF//，AFDE2，所以AF//OG，从而四边形AFGO是平行四边形，AOFG//.………4分因为FG平面BEF,AO平面BEF,所以//AO平面BEF，即//AC平面BEF………7分（Ⅱ）解：因为平面ABCD平面ADEF，ABAD,所以AB平面ADEF.………10分因为DEAF//,90ADE,22AFDADE，所以DEF的面积为122EDAD，……12分所以四面体BDEF的体积ABSDEF3143.……14分4、(Ⅰ)证明：在长方体1111DCBAABCD中,11//DDBB，又∵1BB平面DED1，1DD平面DED1∴直线//1BB平面DED1……4分(Ⅱ)证明：在长方形ABCD中,∵11AAAB,2AD,∴2DEAE,∴2224ADDEAE,故DEAE,………6分∵在长方形ABCD中有1DD平面ABCD,AE平面ABCD,∴1DDAE,……7分又∵DDEDD1,∴直线AE平面DED1,……8分ABCDFE5而AE平面AEA1,所以平面AEA1平面DED1.…………10分(Ⅲ)DEAAV1ADEADEASAAV1311312121131.…………14分5．(1）证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又在△BCD中，∠BCD=900，所以，BC⊥CD，又AB∩BC＝B，所以，CD⊥平面ABC，…………3分又在△ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，且(01)AEAFACAD所以，不论为何值，EF//CD,总有EF⊥平面ABC：………7分（2）解：在△BCD中，∠BCD=900，BC＝CD＝1，所以，BD＝2,又AB⊥平面BCD，所以，AB⊥BD，又在Rt△ABD中，,600ADB∴AB=BDtan6600。………………10分由（1）知EF⊥平面ABE，所以，三棱锥A－BCD的体积是624………………14分6、解：(1)由已知得，MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.(2分)因为MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，所以MD∥平面APC.(4分)(2)因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB，(5分)所以AP⊥PB.(6分)又因为AP⊥PC，且PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.(7分)因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又因为BC⊥AC，且AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.(10分)(3)因为MD⊥平面PBC，所以MD是三棱锥M—DBC的高，且MD＝5，又在直角三角形PCB中，由PB＝10，BC＝4，可得PC＝2.(11分)于是S△BCD＝21S△BCP＝2，(12分)所以VD－BCM＝VM－DBC＝31Sh＝10.(13分)7．解:（Ⅰ）在图1中,可得2ACBC,从而222ACBCAB,故ACBC取AC中点O连结DO,则DOAC,又面ADC面ABC,面ADC面ABCAC,DO面ACD,从而OD平面ABC,……4分∴ODBC又ACBC,ACODO,∴BC平面ACD……8分另解:在图1中,可得2ACBC,从而222ACBCAB,故ACBC6∵面ACD面ABC,面ACD面ABCAC,BC面ABC,从而BC平面ACD(Ⅱ)由（Ⅰ）可知BC为三棱锥BACD的高.2BC，12ACDS……11分所以111223326BACDVSh……13分由等积性可知几何体DABC的体积为26……14分8解：（1）过A作//AECD，根据三视图可知，E是BC的中点，(1分)且1BECE，1AECD(2分)又∵PBC为正三角形，∴2BCPBPC，且PEBC∴2223PEPCCE(3分)∵PA平面ABCD，AE平面ABCD，∴PAAE(4分)∴2222PAPEAE，即2PA(5分)正视图的面积为12222S(6分)（2）由（1）可知，四棱锥PABCD的高2PA，(7分)底面积为1231222ADBCSCD(8分)∴四棱锥PABCD的体积为113223322PABCDVSPA(10分)（3）证明：∵PA平面ABCD，AC平面ABCD，∴PAAC(11分)∵在直角三角形ABE中，2222ABAEBE在直角三角形ADC中，2222ACADCD(12分)∴2224BCAAAC,∴BAC是直角三角形(13分)∴ACAB又∵ABPAA，∴AC平面PAB(14分)7