2017-2018学年湖北省襄阳市高一下学期期末数学试题(解析版)

第1页共18页2017-2018学年湖北省襄阳市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知，，则t和s的大小关系中正确的是A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：化简s﹣t的结果到完全平方的形式（b﹣1）2，判断符号后得出结论．解：s﹣t=a+b2+1﹣a﹣2b=b2﹣2b+1=（b﹣1）2≥0，故有s≥t，故选D．点评：本题考查完全平方公式的应用，用比较法证明不等式的方法，作差﹣﹣变形﹣﹣判断符号﹣﹣得出结论．2．下列各式中，值为的是A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行求解.详解：由，得选项A正确；由，得选项B错误；由，得选项C错误；由，得选项D错误.故选A.点睛：本题考查二倍角的正弦、余弦、正切公式等知识，意在考查学生的基本计算能力.3．下列结论正确的是第2页共18页A．若平面内有两条直线平行于平面，则平面B．直线l平行于平面，则直线l平行于平面内的任意一条直线C．存在两条异面直线同时平行于同一个平面D．直线平面，平面平面则直线平面【答案】C【解析】根据面面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理进行判断．【详解】解：若，则平面内所有平行于l的直线都与平面，故A错误，若直线l平行平面，则l与平面内的任一条直线有两种位置关系：平行、异面，故B错误，根据线面平行的判定，存在两条异面直线同时平行于同一个平面，故C正确，直线平面，平面平面则直线平面或，故D错误，故选：C．【点睛】本题主要考查对空间几何体的理解，进而刻画点、线、面的位置关系．4．A．B．C．D．【答案】A【解析】利用诱导公式及两角差的余弦化简求值．【详解】解：．故选：A．【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了两角差的余弦，是基础题．5．第3页共18页A．B．C．D．【答案】C【解析】由，利用裂项相消法可求得数列的和【详解】解：，，故选：C．【点睛】本题考查数列求和，对数列，其中为等差数列，且公差，则．项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.6．一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成，则该几何体的表面积为第4页共18页A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：由俯视图可知该几何体为一圆台，再由正视图、侧视图可得该几何体为一圆台内部挖去一个圆锥，根据正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成，可得该几何体的底面半径、母线长，再由圆台、圆锥的侧面积公式，圆的面积公式求解。详解：由三视图可知该几何体是一个圆台，内部挖去一个圆锥。圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，圆锥底面为圆台的上底面，顶点为圆台底面的圆心。圆台侧面积为，下底面面积为，圆锥的侧面积为。所以该几何体的表面积为。故选B。点睛：（1）还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.（2）对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．根据几何体的三视图确定直观图的方法：三视图为三个三角形，对应三棱锥；三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥；三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱。7．数列是等差数列，若，，构成公比为q的等比数列，则A．1B．2C．3D．4【答案】A第5页共18页【解析】设出等差数列的公差，由，，构成公比为q的等比数列，列式求出公差，则由化简得答案【详解】解：设等差数列的公差为d，由，，构成等比数列，得：，整理得：即．化简得：，即．．故选：A．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．8．有下面三组定义：有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．其中正确定义的个数是A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】由棱柱的定义可知只有①正确，②中截面必须平行于底面,③中其余各三角形应有一个公共顶点，所以②③都不正确.故选B.【考点】棱柱，棱台，棱锥的概念.9．中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主第6页共18页责之栗五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且B．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且C．a，b，c依次成公比为的等比数列，且D．a，b，c依次成公比为的等比数列，且【答案】D【解析】由条件知，，依次成公比为的等比数列，三者之和为52升，根据等比数列的前N项和，即故答案为D。10．如图，点分别是正方体的面对角线的中点，则异面直线和所成的角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接,中,,又,所以直线和所成的角即与第7页共18页所成角，故选C.11．已知，，，，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得和的值，再利用诱导公式、两角和差的三角公式，求得的值．【详解】解：已知，，，，，，，．，故选：D．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．在解决三角中的给值求值问题时，解题的关键往往是要进行角的变换，将已知条件作为整体进行求解；同时在运用平方关系求三角函数值时，要注意所得结果的符号．12．已知数列的前n项和，且，对一切正整数n都成立，记的前n项和为，则数列中的最大值为A．B．C．D．第8页共18页【答案】A【解析】由题数列的前项和且，对一切正整数都成立，则当时，①当时，得②②-①得，③结合，可解得计算可得则，它是一个等比数列，故当为奇数时，随的增大而增大，所以当为偶数时，随的增大而减小，所以综上，当时，总有故选A【点睛】本题利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中根据的奇偶判断的单调性是解题的关键二、填空题13．不等式的解集是______．【答案】【解析】把不等式化为，写出解集即可．【详解】第9页共18页解：不等式可化为，解得，不等式的解集是．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．14．有一个半径为的球是用橡皮泥制作的,现要将该球所用的橡皮泥重新制作成一个圆柱和一个圆锥,使得圆柱和圆锥有相等的底面半径和相等的高,若它们的高为,则它们的底面圆的半径是___________．【答案】【解析】设它们的底面圆的半径为()．依题意得,化简得,所以．15．已知向量，，若，则______．【答案】【解析】利用向量垂直的性质可得，由同角三角函数的基本关系，二倍角公式结合诱导公式可得解．【详解】解：向量，，，，，第10页共18页，，．故答案为：．【点睛】本题考查正弦函数值的求法，考查向量垂直的性质、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．在中，角，，的对边分别为，，，已知，若的面积为，则当的值最小时的周长为____________．【答案】【解析】由及正弦定理可得，所以由余弦定理的推论可得，因为，所以．因为的面积为，所以，即，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为，此时，，所以是等边三角形，故的值最小时的周长为．三、解答题17．在等差数列中，已知公差，，．求数列的通项公式；求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）当时，；当时，．【解析】由等差数列的性质可得，，解得，，由等差第11页共18页数列的通项公式可得公差d，进而得到所求通项；讨论当时，，当时，，运用等差数列的求和公式，即可得到所求和．【详解】解：在等差数列中，公差，，，可得，，解得，，可得，则；当时，，当时，，等差数列的前n项和为，当时，数列的前n项和；当时，．【点睛】本题考查等差数列的性质和通项公式的求法，注意运用方程思想和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．18．已知三内角A、B、C对应的边为a、b、c，且．求角A；当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】由题设条件得到，利用两角的正弦公式展开、化简得到，从而可以得到A的值．第12页共18页由正弦定理得到，代入代数式，利用内角和定理与辅助角公式得到，由角A的值得出角B的范围，从而得到角的范围，从而可计算出的取值范围．【详解】，即，即，，即，，则，所以，，，因此，；由正弦定理可得，则，，所以，，，，则，所以，，所以，，因此，的取值范围是．【点睛】本题考查正弦定理，考查计算能力与变形能力，属于中等题．第13页共18页19．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆），需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2018年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）；（2）当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.【解析】试题分析：（1）利用给定的公式“利润=销售额-成本”计算利润，因为成本函数是分段函数，故需要分类计算得到利润函数为.（2）当时，，这是二次函数，其最大值为；当时，，最大值为，因此年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.解析：（1）当时，；当时，；第14页共18页∴.（2）当时，，∴当时，；当时，，当且仅当，即时，；∴当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.20．如图，在几何体ABCDE中，底面BCD，，，．证明：平面平面CDE；若，，，求几何体ABCDE的体积．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】由已知可得平面BCD，则，再由，利用线面垂直的判定可得平面CDE，进一步得到平面平面CDE；由知，，可得，设，则，求解三角形得x值，再由等积法求几何体ABCDE的体积．【详解】证明：底面BCD，，第15页共18页平面BCD，则，又，而，平面CDE，又平面ABC，平面平面CDE；解：由知，，，，，设，则，可得，，，又，，即，解得．连接AD，可得，．．则几何体ABCDE的体积是．【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．第16页共18页21．在数列中，已知，．求，，的值；若，证明：数列是等差数列；设数列的前n项和为，比较与的大小．【答案】（1）,；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】分别令，2，计算可得所求值；求得，由等差数列的定义即可得证；运用等差数列的通项公式可得，再由数列的求和方法：错位相减法，可得，再由作差法，即可得到所求大小关系．【详解】解：，，可得；；证明：，可得，数列是首项和公差均为1的等差数列；，可得，设，则，相减可得第17页共18页，化简可得，则为，，当时，；当时，；当，，．【点睛】本题考查构造数列法，以及等差数列的定义和通项公式、等比数列的求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，以及分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．22．已知函数．当时，解不等式；若时，恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】时不等式化为，求解集即可；由题意问题等价于在